Решите неравенство: \[\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\]

Разберем неравенство \[\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\] 1. Разложим числитель и знаменатель на множители: * Числитель: \(25x^2 - 10x + 1 = (5x - 1)^2\). Это полный квадрат. * Знаменатель: \(5x^2 + 9x - 2\). Найдем корни квадратного уравнения \(5x^2 + 9x - 2 = 0\). Дискриминант: \(D = 9^2 - 4 cdot 5 cdot (-2) = 81 + 40 = 121\). Корни: \[x_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 cdot 5} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\] \[x_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 cdot 5} = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2\] Значит, \(5x^2 + 9x - 2 = 5(x - \frac{1}{5})(x + 2) = (5x - 1)(x + 2)\). 2. Запишем неравенство с разложенными множителями: \[\frac{(5x - 1)^2}{(5x - 1)(x + 2)} \le 0\] 3. Сократим дробь, учитывая ограничения: * Заметим, что \(5x - 1\) присутствует и в числителе, и в знаменателе. Однако, сокращать просто так нельзя, так как \(5x - 1\) может быть равно нулю. * Если \(5x - 1 = 0\), то \(x = \frac{1}{5}\). Подставим это значение в исходное неравенство: числитель равен нулю, знаменатель тоже равен нулю. Но x = 1/5 не может быть решением, так как знаменатель не может быть равен нулю. * Если \(x
e \frac{1}{5}\), можно сократить на \(5x - 1\): \[\frac{5x - 1}{x + 2} \le 0\] 4. Решим полученное неравенство методом интервалов: * Найдем нули числителя и знаменателя: * \(5x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{5}\) * \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\) * Отметим эти точки на числовой прямой. Точка \(x = \frac{1}{5}\) будет выколота, так как в знаменателе не может быть нуля, а точка \(x=-2\) тоже выколота. * Определим знаки на интервалах: * \(x < -2\): Пусть \(x = -3\), тогда \(\frac{5(-3) - 1}{-3 + 2} = \frac{-16}{-1} = 16 > 0\) * \(-2 < x < \frac{1}{5}\): Пусть \(x = 0\), тогда \(\frac{5(0) - 1}{0 + 2} = \frac{-1}{2} < 0\) * \(x > \frac{1}{5}\): Пусть \(x = 1\), тогда \(\frac{5(1) - 1}{1 + 2} = \frac{4}{3} > 0\) * Нам нужно, чтобы \(\frac{5x - 1}{x + 2} \le 0\), то есть выбираем интервал, где выражение отрицательно или равно нулю. * Получаем интервал \((-2; \frac{1}{5})\). Но мы учли, что \(x = \frac{1}{5}\) не может быть решением, так как сокращали дробь, где x=1/5 может быть решением. В нашем случае, \(x=\frac{1}{5}\) не является решением, т.к. знаменатель не может быть равен нулю, несмотря на то, что числитель в таком случае равен нулю. 5. Запишем окончательный ответ: * \(x \in (-2; \frac{1}{5})\) Ответ: \((-2; \frac{1}{5})\)