Решите квадратичное неравенство, используя график квадратичной функции: \[4x^2 - 12x + 9 < 0\]

Для решения квадратичного неравенства (4x^2 - 12x + 9 < 0), сначала рассмотрим соответствующее квадратное уравнение: \[4x^2 - 12x + 9 = 0\] Это можно переписать как: \[(2x - 3)^2 = 0\] Таким образом, уравнение имеет единственный корень: \[2x - 3 = 0\] \[x = \frac{3}{2}\] То есть, (x = 1.5). Теперь рассмотрим неравенство (4x^2 - 12x + 9 < 0). Поскольку (4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2), мы имеем: \[(2x - 3)^2 < 0\] Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Это означает, что ((2x - 3)^2) всегда больше или равно нулю. Следовательно, неравенство ((2x - 3)^2 < 0) не имеет решений, так как квадрат не может быть строго меньше нуля. Таким образом, нет значений (x), которые удовлетворяют неравенству. **Ответ:** \(\emptyset\) **Объяснение для школьников:** Давайте попробуем решить это вместе! Нам дано неравенство (4x^2 - 12x + 9 < 0). Чтобы его решить, сначала нужно упростить выражение. Мы видим, что левая часть неравенства – это полный квадрат: ((2x - 3)^2). Это означает, что наше неравенство выглядит так: ((2x - 3)^2 < 0). Теперь давайте вспомним, что квадрат любого числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда больше или равен нулю. Например, ((5)^2 = 25), ((-3)^2 = 9), ((0)^2 = 0). Значит, выражение ((2x - 3)^2) не может быть меньше нуля. Оно может быть только больше или равно нулю. Поэтому, наше неравенство ((2x - 3)^2 < 0) не имеет решений. Так что, ответ – ни одно число не подходит! Это обозначается символом \(\emptyset\) (пустое множество).