Решите данную систему уравнений.

Рассмотрим систему уравнений: \( \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} = \frac{5}{8} \) и \( \frac{1}{x-y} - \frac{1}{x+y} = \frac{3}{8} \). Пусть \( a = \frac{1}{x+y} \) и \( b = \frac{1}{x-y} \). Тогда система преобразуется в: \( a + b = \frac{5}{8} \) и \( b - a = \frac{3}{8} \). Складывая эти уравнения, получаем \( 2b = 1 \), откуда \( b = \frac{1}{2} \). Подставляя значение \( b \) во второе уравнение, находим \( a = \frac{1}{8} \). Теперь вернемся к исходным обозначениям: \( \frac{1}{x+y} = \frac{1}{8} \), следовательно \( x+y = 8 \); \( \frac{1}{x-y} = \frac{1}{2} \), следовательно \( x-y = 2 \). Решая систему \( x+y=8 \) и \( x-y=2 \), складываем: \( 2x = 10 \), откуда \( x = 5 \). Вычитая: \( 2y = 6 \), откуда \( y = 3 \). Ответ: \( x = 5, y = 3 \).