Решить уравнение: $\frac{5}{x-3} - \frac{8}{x} = 3$

Давай решим уравнение по шагам: 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю. Значит, $x
eq 3$ и $x
eq 0$. 2. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $x(x-3)$. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующие множители, чтобы получить общий знаменатель: $\frac{5}{x-3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{8}{x} \cdot \frac{x-3}{x-3} = 3$ $\frac{5x}{x(x-3)} - \frac{8(x-3)}{x(x-3)} = 3$ 3. Объединим дроби. Теперь, когда у нас есть общий знаменатель, мы можем объединить дроби: $\frac{5x - 8(x-3)}{x(x-3)} = 3$ 4. Упростим числитель. Раскроем скобки в числителе: $\frac{5x - 8x + 24}{x(x-3)} = 3$ $\frac{-3x + 24}{x(x-3)} = 3$ 5. Избавимся от знаменателя. Умножим обе части уравнения на $x(x-3)$: $-3x + 24 = 3x(x-3)$ $-3x + 24 = 3x^2 - 9x$ 6. Приведем к квадратному уравнению. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $3x^2 - 9x + 3x - 24 = 0$ $3x^2 - 6x - 24 = 0$ 7. Упростим квадратное уравнение. Разделим обе части уравнения на 3: $x^2 - 2x - 8 = 0$ 8. Решим квадратное уравнение. Мы можем решить это уравнение с помощью теоремы Виета или дискриминанта. Используем теорему Виета. Нужно найти два числа, которые в сумме дают 2, а в произведении -8. Это числа 4 и -2. Значит, $(x - 4)(x + 2) = 0$ $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$ 9. Проверим корни. Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ. Оба корня $x = 4$ и $x = -2$ не равны 0 и 3, значит, они являются решениями. Ответ: -2, 4