Решить уравнение: \[(x^2 - 64)^2 + (x^2 + 5x - 104)^2 = 0\]

Дано уравнение: \[(x^2 - 64)^2 + (x^2 + 5x - 104)^2 = 0\] Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Следовательно, имеем систему уравнений: \[\begin{cases} x^2 - 64 = 0 \\ x^2 + 5x - 104 = 0 \end{cases}\] Решим первое уравнение: \[x^2 - 64 = 0 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm 8\] Решим второе уравнение: \[x^2 + 5x - 104 = 0\] Используем квадратное уравнение для нахождения корней: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] В нашем случае, $a = 1$, $b = 5$, $c = -104$. Тогда: \[x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-104)}}{2(1)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 416}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{-5 \pm 21}{2}\] Получаем два корня: \[x_1 = \frac{-5 + 21}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{-5 - 21}{2} = \frac{-26}{2} = -13\] Таким образом, корни второго уравнения: $x = 8$ и $x = -13$. Теперь найдем общие корни системы. Из первого уравнения мы получили $x = 8$ и $x = -8$. Из второго уравнения мы получили $x = 8$ и $x = -13$. Общий корень этих двух уравнений $x = 8$. Ответ: 8 Разъяснение для ученика: 1. Что такое сумма квадратов? Это когда мы берем несколько чисел, каждое из которых возводим в квадрат (то есть умножаем само на себя), а потом складываем результаты. Например, $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$. 2. Когда сумма квадратов равна нулю? Сумма квадратов может быть равна нулю только в одном случае: когда каждое из чисел, которые мы возводим в квадрат, равно нулю. Почему? Потому что квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Если хоть одно из чисел не равно нулю, то его квадрат будет положительным, и сумма уже не сможет быть нулем. 3. Как это применить к уравнению? В нашем уравнении $(x^2 - 64)^2 + (x^2 + 5x - 104)^2 = 0$ мы видим сумму двух квадратов. Чтобы эта сумма была равна нулю, нужно, чтобы оба выражения в скобках были равны нулю. То есть: * $x^2 - 64 = 0$ * $x^2 + 5x - 104 = 0$ 4. Решаем первое уравнение: $x^2 - 64 = 0$. Это значит, что $x^2$ должно быть равно 64. Какие числа при возведении в квадрат дают 64? Это 8 и -8. Потому что $8*8 = 64$ и $(-8)*(-8) = 64$. 5. Решаем второе уравнение: $x^2 + 5x - 104 = 0$. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта. Мы находим корни этого уравнения, и получаем $x = 8$ и $x = -13$. 6. Находим общий корень: Теперь у нас есть корни из обоих уравнений. Чтобы найти решение исходного уравнения, нам нужно найти число, которое является корнем обоих уравнений. В нашем случае это число 8. Потому что $x = 8$ подходит и для первого, и для второго уравнения. Итак, ответ: 8.