Реши задачу и запиши ответ. Боковые стороны трапеции равны 15 см и 17 см, а длины оснований относятся как 5:3. Найди площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

Пусть основания трапеции равны (5x) и (3x). Так как в трапецию можно вписать окружность, то сумма боковых сторон равна сумме оснований: \[15 + 17 = 5x + 3x\] \[32 = 8x\] \[x = 4\] Следовательно, основания трапеции равны (5x = 5 cdot 4 = 20) см и (3x = 3 cdot 4 = 12) см. Проведем высоты (BH) и (CF) из вершин (B) и (C) на основание (AD). Тогда (AH + FD = AD - BC = 20 - 12 = 8) см. Пусть (AH = y), тогда (FD = 8 - y). Рассмотрим прямоугольные треугольники (ABH) и (CDF). По теореме Пифагора: \[BH^2 = AB^2 - AH^2 = 15^2 - y^2\] \[CF^2 = CD^2 - FD^2 = 17^2 - (8 - y)^2\] Так как (BH = CF), то: \[15^2 - y^2 = 17^2 - (8 - y)^2\] \[225 - y^2 = 289 - (64 - 16y + y^2)\] \[225 - y^2 = 289 - 64 + 16y - y^2\] \[225 = 225 + 16y\] \[16y = 0\] \[y = 0\] Тогда (AH = 0), следовательно, высота трапеции совпадает с боковой стороной (AB), то есть (BH = 15) см. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[S = \frac{BC + AD}{2} cdot BH = \frac{12 + 20}{2} cdot 15 = \frac{32}{2} cdot 15 = 16 cdot 15 = 240\] Ответ: 240 см². Объяснение для ученика: 1. Понимание условия: Сначала внимательно прочитай задачу. Нам дана трапеция, в которую можно вписать окружность. Это означает, что сумма её боковых сторон равна сумме оснований. Также нам известны длины боковых сторон и отношение оснований. 2. Нахождение оснований: Обозначим основания как (5x) и (3x). Используем условие о вписанной окружности, чтобы найти (x). Решив уравнение, мы найдем длины оснований. 3. Нахождение высоты: Чтобы найти площадь трапеции, нам нужна её высота. Для этого опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника. Используя теорему Пифагора и зная, что высоты равны, мы сможем найти высоту трапеции. 4. Вычисление площади: Теперь, когда мы знаем основания и высоту, мы можем вычислить площадь трапеции по формуле. Подставляем значения и получаем ответ.