Решение задания №6: В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AH - высота и sin(∠BAC) = 0,1. Найдите cos(∠BAH).

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. 1. **Понимание условия:** - У нас есть треугольник ABC, где AC = BC (то есть, он равнобедренный). - AH - это высота, проведенная к стороне BC. - sin(∠BAC) = 0,1 - Нам нужно найти cos(∠BAH). 2. **Анализ:** В равнобедренном треугольнике высота AH является также медианой и биссектрисой угла ∠BAC. Это означает, что ∠BAH = ∠CAH. 3. **Используем тригонометрические соотношения:** Поскольку AH - высота, треугольник ABH - прямоугольный. Мы знаем sin(∠BAC) = 0,1. Пусть ∠BAC = α. Тогда ∠BAH = α/2. Нам нужно найти cos(∠BAH) = cos(α/2). 4. **Формула половинного угла:** cos(α/2) = \(\sqrt{\frac{1 + cos(α)}{2}}\) (Формула половинного угла для косинуса) 5. **Найдем cos(α):** Мы знаем sin(α) = 0,1. Используем основное тригонометрическое тождество: sin²(α) + cos²(α) = 1 cos²(α) = 1 - sin²(α) cos²(α) = 1 - (0,1)² = 1 - 0,01 = 0,99 cos(α) = \(\sqrt{0,99}\) 6. **Подставим cos(α) в формулу половинного угла:** cos(α/2) = \(\sqrt{\frac{1 + \sqrt{0,99}}{2}}\) 7. **Вычисление:** \(\sqrt{0,99}\) ≈ 0.995 cos(α/2) = \(\sqrt{\frac{1 + 0.995}{2}}\) = \(\sqrt{\frac{1.995}{2}}\) = \(\sqrt{0.9975}\) ≈ 0.9987 **Ответ:** cos(∠BAH) ≈ 0.9987 **Развёрнутый ответ для школьника:** В этой задаче мы использовали свойства равнобедренного треугольника и тригонометрические формулы. Так как высота в равнобедренном треугольнике является также биссектрисой, мы смогли найти угол ∠BAH как половину угла ∠BAC. Затем, зная синус угла ∠BAC, мы нашли его косинус и применили формулу половинного угла, чтобы вычислить косинус угла ∠BAH. В итоге получили значение около 0.9987.