Решение задачи о радиусе вписанной окружности

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. Нам нужно найти радиус окружности, вписанной в правильный восьмиугольник, зная сторону *a*. Формула для радиуса вписанной окружности в правильный *n*-угольник имеет вид: $r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$ В нашем случае, *n* = 8 (восьмиугольник). 1. Подставим значение *n* в формулу: $r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{8})}$ 2. Значение $\tan(\frac{\pi}{8})$ известно и равно $\sqrt{2} - 1$. $r = \frac{a}{2(\sqrt{2} - 1)}$ 3. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} + 1)$: $r = \frac{a(\sqrt{2} + 1)}{2(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$ 4. Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $r = \frac{a(\sqrt{2} + 1)}{2(2 - 1)}$ $r = \frac{a(\sqrt{2} + 1)}{2}$ Итак, радиус вписанной окружности равен: $\boxed{r = \frac{a(\sqrt{2} + 1)}{2}}$ Теперь вы знаете, как решать подобные задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, обращайтесь!