Ребро куба равно 11 м. Вычисли угол, который образует диагональ куба с плоскостью основания. Выбери правильный ответ.

Давайте решим эту задачу. Представим себе куб. Диагональ куба соединяет две противоположные вершины куба. Когда мы рассматриваем угол между диагональю куба и плоскостью основания, мы рассматриваем проекцию этой диагонали на плоскость основания. Пусть сторона куба равна $a$. Тогда диагональ основания (квадрата) равна $a\sqrt{2}$ (по теореме Пифагора). Диагональ куба равна $\sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3}$. Обозначим угол между диагональю куба и плоскостью основания за $\alpha$. Тогда $\cos(\alpha)$ будет равен отношению проекции диагонали куба на плоскость основания (то есть диагонали основания) к длине диагонали куба. То есть, $$\cos(\alpha) = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$$ Следовательно, $\alpha = \arccos(\sqrt{\frac{2}{3}})$. Или можно рассмотреть тангенс угла: $\tan(\alpha) = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Значит, $\alpha = \arctan(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Поскольку $\arctan(x) = \operatorname{arccot}(\frac{1}{x})$, то $\alpha = \operatorname{arccot}(\sqrt{2})$. В предложенных вариантах ответа есть $\operatorname{arccot}(\frac{\sqrt{2}}{2})$, что не соответствует найденному значению. Однако, если пересмотреть условие, и допустить, что спрашивают угол между диагональю основания и диагональю куба (вместо угла диагонали куба с плоскостью основания), тогда: $\tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ В таком случае $\alpha = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$. Однако, рассмотрим угол между диагональю куба и основанием. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета (ребра куба) к прилежащему катету (диагонали основания). $\tan(\alpha) = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\alpha = \arctan(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \operatorname{arccot}(\sqrt{2})$ Также можно рассмотреть $\sin(\alpha) = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{3})$ Таким образом, правильный ответ: $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{3})$ **Ответ:** $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{3})$