Разложить квадратные трехчлены на множители.

Разложение квадратного трехчлена на множители подразумевает представление его в виде произведения двух линейных множителей. Для этого обычно находят корни квадратного трехчлена и используют их для записи разложения. 1) $x^2 - 2x - 3$ Чтобы разложить этот квадратный трехчлен, найдем его корни. Решим уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 cdot x_2 = -3$. Подходящие корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Тогда разложение будет: $(x - 3)(x + 1)$. 2) $x^2 - 8x + 15$ Решим уравнение $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 cdot x_2 = 15$. Подходящие корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 3$. Разложение: $(x - 5)(x - 3)$. 3) $x^2 + 6x + 8$ Решим уравнение $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -6$ и $x_1 cdot x_2 = 8$. Подходящие корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$. Разложение: $(x + 4)(x + 2)$. 4) $-2x^2 - x + 1$ Решим уравнение $-2x^2 - x + 1 = 0$, или $2x^2 + x - 1 = 0$. Используем дискриминант: $D = 1^2 - 4 cdot 2 cdot (-1) = 1 + 8 = 9$. Корни: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$. Разложение: $-2(x - \frac{1}{2})(x + 1) = -(2x - 1)(x + 1)$. 5) $-2x^2 + 4x + 6$ Решим уравнение $-2x^2 + 4x + 6 = 0$, или $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни, как в примере 1: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Разложение: $-2(x - 3)(x + 1)$. 6) $3x^2 + 30x + 63$ Решим уравнение $3x^2 + 30x + 63 = 0$, или $x^2 + 10x + 21 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -10$ и $x_1 cdot x_2 = 21$. Подходящие корни: $x_1 = -7$ и $x_2 = -3$. Разложение: $3(x + 7)(x + 3)$. 7) $-2x^2 - 9x - 4$ Решим уравнение $-2x^2 - 9x - 4 = 0$, или $2x^2 + 9x + 4 = 0$. Дискриминант: $D = 9^2 - 4 cdot 2 cdot 4 = 81 - 32 = 49$. Корни: $x_1 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2 cdot 2} = \frac{-9 + 7}{4} = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2 cdot 2} = \frac{-9 - 7}{4} = -4$. Разложение: $-2(x + \frac{1}{2})(x + 4) = -(2x + 1)(x + 4)$. 8) $3x^2 - 21x + 30$ Решим уравнение $3x^2 - 21x + 30 = 0$, или $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 cdot x_2 = 10$. Подходящие корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 2$. Разложение: $3(x - 5)(x - 2)$. 9) $5x^2 - 15x + 10$ Решим уравнение $5x^2 - 15x + 10 = 0$, или $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 cdot x_2 = 2$. Подходящие корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 1$. Разложение: $5(x - 2)(x - 1)$. 10) $x^2 + 2x - 3$ Решим уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 cdot x_2 = -3$. Подходящие корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Разложение: $(x - 1)(x + 3)$. 11) $x^2 - 3x - 4$ Решим уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 cdot x_2 = -4$. Подходящие корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$. Разложение: $(x - 4)(x + 1)$. 12) $x^2 + 8x + 15$ Решим уравнение $x^2 + 8x + 15 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -8$ и $x_1 cdot x_2 = 15$. Подходящие корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = -3$. Разложение: $(x + 5)(x + 3)$. 13) $2x^2 - x - 1$ Решим уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$. Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 cdot 2 cdot (-1) = 1 + 8 = 9$. Корни: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$. Разложение: $2(x - 1)(x + \frac{1}{2}) = (x - 1)(2x + 1)$. 14) $2x^2 - 4x - 6$ Решим уравнение $2x^2 - 4x - 6 = 0$, или $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни, как в примере 1: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Разложение: $2(x - 3)(x + 1)$. 15) $6x^2 - 18x + 12$ Решим уравнение $6x^2 - 18x + 12 = 0$, или $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 cdot x_2 = 2$. Подходящие корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 1$. Разложение: $6(x - 2)(x - 1)$. Ответ: Разложение квадратных трехчленов на множители выполнено для каждого примера выше.