8. Равные площади

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы разберем задачу о равных площадях в правильном шестиугольнике. Наша цель – доказать, что площадь треугольника $EDO$ равна площади четырехугольника $OLBK$. Давайте приступим к решению. **Дано:** Правильный шестиугольник $ABCDEF$. $L$ – середина $CB$, $K$ – середина $AB$. **Требуется доказать:** $S(EDO) = S(OLBK)$ **Доказательство:** 1. **Свойства правильного шестиугольника:** Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. Центр шестиугольника (точка $O$) является центром каждого из этих треугольников. 2. **Симметрия:** Рассмотрим поворот вокруг центра $O$ на угол $120^{\circ}$ против часовой стрелки. При этом повороте: * Точка $E$ переходит в точку $C$. * Точка $D$ переходит в точку $B$. 3. **Равенство площадей треугольников:** Треугольник $EDO$ переходит в треугольник $CBO$ при указанном повороте. Следовательно, $S(EDO) = S(CBO)$. 4. **Рассмотрим четырехугольник $OLBK$.** Так как $L$ и $K$ – середины сторон $CB$ и $AB$ соответственно, отрезки $OL$ и $OK$ делят треугольники $CBO$ и $ABO$ на части. Заметим, что площадь треугольника $CBO$ равна сумме площадей треугольника $BLO$ и треугольника $LOC$, а площадь треугольника $ABO$ равна сумме площадей треугольника $BOK$ и треугольника $KOA$. 5. **Соотношение площадей:** Теперь заметим, что площадь четырехугольника $OLBK$ можно представить как сумму площадей $S(BLO)$ и $S(BOK)$. 6. **Рассмотрим площадь треугольника $CBO$:** $$S(CBO) = S(BLO) + S(LOC)$$ Так как $L$ - середина $CB$, то $S(BLO) = \frac{1}{2} S(CBO)$ 7. **Рассмотрим площадь треугольника $ABO$:** $$S(ABO) = S(BOK) + S(KOA)$$ Так как $K$ - середина $AB$, то $S(BOK) = \frac{1}{2} S(ABO)$ 8. **Учитывая, что треугольники $ABO$ и $CBO$ составляют части правильного шестиугольника и равны по площади.** Тогда $S(ABO) = S(CBO)$. 9. **Теперь рассмотрим площадь четырехугольника $OLBK$:** $$S(OLBK) = S(BLO)+S(BOK)$$ 10. Подставляем выражения, полученные в пунктах 6 и 7. Так как $S(BLO) = \frac{1}{2} S(CBO)$ и $S(BOK) = \frac{1}{2} S(ABO)$, то $$S(OLBK) = \frac{1}{2} S(CBO) + \frac{1}{2} S(ABO)$$ Учитывая, что $S(ABO) = S(CBO)$, $$S(OLBK) = \frac{1}{2} S(CBO) + \frac{1}{2} S(CBO) = S(CBO)$$ 11. **Вывод:** Из пунктов 3 и 10 мы имеем: $S(EDO) = S(CBO)$ и $S(OLBK) = S(CBO)$. Следовательно, $S(EDO) = S(OLBK)$. **Что и требовалось доказать.** Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника $EDO$ равна площади четырехугольника $OLBK$. Надеюсь, это объяснение поможет вам разобраться в задаче!