Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них, причем AD = AO. a)° Установите вид треугольника ADO и постройте отрезки AB и CD, о которых говорится в условии задачи, если дан отрезок AD. б)° Докажите, что BC || AD. в) Сравните отрезки OM и CO, если M – середина отрезка AD. г) Найдите угол AEC, если E – точка пересечения биссектрис углов BCO и DAO. д)* Является ли точка O серединой отрезка MH, если M – середина AD, H – середина BC?

Разберем задачу по пунктам. а) Треугольник ADO и построение отрезков AB и CD. * По условию, AD = AO, значит, треугольник ADO – равнобедренный. Так как отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них, то AO = OB и CO = OD. * Построение: строим отрезок AD. Затем, учитывая, что AD = AO, строим точку O. Далее строим отрезки AB и CD, проходящие через точку O так, чтобы O была серединой каждого из них. б) Доказательство, что BC || AD. * Так как AO = OB и CO = OD, то ACBD – параллелограмм (по признаку: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм). * В параллелограмме противоположные стороны параллельны, следовательно, BC || AD. в) Сравнение отрезков OM и CO, если M – середина отрезка AD. * Так как M – середина AD, то AM = MD = \(\frac{1}{2}\)AD. В равнобедренном треугольнике ADO, медиана, проведенная к основанию, является и высотой. Значит, OM перпендикулярна AD. * Рассмотрим треугольник COD. Так как O – середина CD, то CO = \(\frac{1}{2}\)CD. Поскольку ACBD – параллелограмм, то AD = BC и CD = AB. * Сравнение OM и CO требует дополнительной информации или рисунка, чтобы установить точное соотношение. г) Нахождение угла AEC, если E – точка пересечения биссектрис углов BCO и DAO. * Пусть \(\angle DAO = \alpha\) и \(\angle BCO = \beta\). Тогда \(\angle EAO = \frac{\alpha}{2}\) и \(\angle ECO = \frac{\beta}{2}\). * Так как BC || AD, то \(\angle BCO = \angle CDO\) как накрест лежащие углы. Аналогично, \(\angle DAO = \angle ABO\). Следовательно, \(\alpha = \beta\). * В треугольнике AEC, \(\angle AEC = 180^\circ - (\angle EAC + \angle ECA) = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \angle OCA)\). Мы знаем, что \(\angle OCA = \angle ODA\). Учитывая, что AD = AO, треугольник ADO – равнобедренный, поэтому \(\angle ODA = \angle AOD\). д) Является ли точка O серединой отрезка MH, если M – середина AD, H – середина BC? * Так как M и H – середины AD и BC соответственно, и BC || AD, то AMHD – параллелограмм. Тогда MH проходит через середину отрезка OD, а O – середина CD. Для того чтобы O была серединой MH, необходимо, чтобы MH проходила через точку O, что не всегда верно. Поэтому O не всегда является серединой MH. Развернутый ответ для школьника: Привет! Давай разберемся с этой геометрической задачей по шагам. *Пункт а)* говорит о том, что у тебя есть два одинаковых отрезка, которые пересекаются посередине. Еще известно, что отрезок AD равен отрезку AO. Тебе нужно понять, что за треугольник ADO и нарисовать всю эту картину, если известен отрезок AD. *Пункт б)* просит доказать, что BC и AD параллельны. Это значит, что они никогда не пересекутся, как рельсы на железной дороге. *В пункте в)* нужно сравнить два отрезка: OM и CO. M – это середина отрезка AD. Нужно понять, какой из этих отрезков больше или они равны. *Пункт г)* – найти угол AEC. E – это точка, где пересекаются линии, которые делят углы BCO и DAO пополам (биссектрисы). Нужно найти, чему равен этот угол. *И последний, самый сложный пункт д)* – выяснить, является ли точка O серединой отрезка MH. M – это середина AD, а H – середина BC. Нужно подумать, всегда ли точка O будет посередине между M и H.