Рассмотрим задачу на нахождение радиуса описанной окружности около треугольника ABC.

Дано: - AD - высота остроугольного треугольника ABC. - M - середина стороны BC. - O - центр описанной окружности треугольника ABC. - OM = 6 см. - AD = 18 см. - ∠DAO = 60°. Найти: радиус описанной окружности (R). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO. Известно, что ∠DAO = 60° и AD = 18 см. 2. Пусть AO = R (радиус описанной окружности). Тогда OD = AD - AO = 18 - R. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMD. В нем OM = 6 см. Так как O - центр описанной окружности, а M - середина BC, то OM перпендикулярна BC. 4. Поскольку AD - высота, то AD перпендикулярна BC. Значит, OD || BC. 5. Из прямоугольного треугольника ADO можно выразить OD через тангенс угла DAO: \[\tan(60^\circ) = \frac{OD}{AO} = \frac{OD}{R}\] \[OD = R \cdot \tan(60^\circ) = R\sqrt{3}\] 6. Но мы также знаем, что OD = 18 - R. Приравняем эти выражения для OD: \[18 - R = R\sqrt{3}\] \[18 = R + R\sqrt{3}\] \[18 = R(1 + \sqrt{3})\] \[R = \frac{18}{1 + \sqrt{3}}\] 7. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (1 - \sqrt{3}), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \[R = \frac{18(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{18(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{18(1 - \sqrt{3})}{-2} = -9(1 - \sqrt{3}) = 9(\sqrt{3} - 1)\] 8. Используем тот факт, что OD = |18 - R|. В прямоугольном треугольнике OMD применим теорему Пифагора: $OM^2 + MD^2 = OD^2$. Но это не поможет нам найти R, так как MD неизвестно. 9. Снова рассмотрим треугольник ADO. Используем косинус угла DAO: $cos(60^\circ) = \frac{AO}{AD} = \frac{R}{AD} => AO = AD*cos(DAO)$ - это неправильно. Косинус 60 градусов равен 1/2, значит прилежащий катет в 2 раза меньше гипотенузы. Это будет верно если R < 18/2. То есть 9. Нашли ошибку! 10. Используем условие OM = 6. Пусть X - точка пересечения AD и окружности. $AX = AD - XD$. $XD = AD - 2OM = 18 -12 = 6$. Значит $AO = R => AD=18 => OD = AD - R$. $cos(DAO) = cos(60) = AD/AO = \frac{1}{2}$. $АО = 2 * AD => R = 2AD = 24$. Ответ: Радиус описанной окружности равен **24 см**.