Пусть разложение натурального числа $n$ на различные простые множители имеет вид $n = p^s q^t$, где $s, t$ – это положительные натуральные числа. Найди максимально возможное количество натуральных делителей числа $n^3$, если $n^2$ имеет 81 натуральный делитель.

Пусть $n = p^s q^t$, где $p$ и $q$ – различные простые числа, а $s$ и $t$ – натуральные числа. Количество делителей числа $n$ равно $(s+1)(t+1)$. Число $n^2 = (p^s q^t)^2 = p^{2s} q^{2t}$. Количество делителей числа $n^2$ равно $(2s+1)(2t+1)$. По условию, это число равно 81. $(2s+1)(2t+1) = 81$. Нужно найти максимальное возможное количество делителей числа $n^3$. Имеем $n^3 = (p^s q^t)^3 = p^{3s} q^{3t}$. Количество делителей числа $n^3$ равно $(3s+1)(3t+1)$. Так как $2s+1$ и $2t+1$ – нечетные числа, то разложение 81 на два нечетных множителя может быть следующим: 1) $81 = 1 cdot 81$, тогда $2s+1=1$ и $2t+1=81$. Из этого следует, что $s=0$ и $t=40$. Но $s$ должно быть натуральным числом, поэтому этот случай не подходит. 2) $81 = 3 cdot 27$, тогда $2s+1=3$ и $2t+1=27$. Из этого следует, что $s=1$ и $t=13$. В этом случае количество делителей $n^3$ равно $(3cdot 1+1)(3cdot 13+1) = 4 cdot 40 = 160$. 3) $81 = 9 cdot 9$, тогда $2s+1=9$ и $2t+1=9$. Из этого следует, что $s=4$ и $t=4$. В этом случае количество делителей $n^3$ равно $(3cdot 4+1)(3cdot 4+1) = 13 cdot 13 = 169$. Максимальное количество делителей числа $n^3$ равно 169. Ответ: 169