Прототипы задания 16 (ОГЭ 2022). Окружность и квадрат. 1. Сторона квадрата равна 16. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат. 2. Сторона квадрата равна 36. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат. 3. Сторона квадрата равна 22. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат. 4. Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40. 5. Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 15. 6. Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 21. 7. Сторона квадрата равна \(4\sqrt{2}\). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата. 8. Сторона квадрата равна \(14\sqrt{2}\). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата. 9. Сторона квадрата равна \(18\sqrt{2}\). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата. 10. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен \(16\sqrt{2}\). Найдите длину стороны этого квадрата. 11. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен \(26\sqrt{2}\). Найдите длину стороны этого квадрата. 12. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен \(32\sqrt{2}\). Найдите длину стороны этого квадрата.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эти задачи по геометрии. Помните, что вписанная окружность касается сторон квадрата, а описанная окружность проходит через все вершины квадрата. Задача 1: Сторона квадрата равна 16. Найдите радиус вписанной окружности. Решение: Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата. \[r = \frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8\] Ответ: \(\bf{8}\) Задача 2: Сторона квадрата равна 36. Найдите радиус вписанной окружности. Решение: Аналогично первой задаче, радиус равен половине стороны квадрата. \[r = \frac{a}{2} = \frac{36}{2} = 18\] Ответ: \(\bf{18}\) Задача 3: Сторона квадрата равна 22. Найдите радиус вписанной окружности. Решение: \[r = \frac{a}{2} = \frac{22}{2} = 11\] Ответ: \(\bf{11}\) Задача 4: Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40. Решение: Если окружность описана около квадрата, то диагональ квадрата равна диаметру окружности. Диаметр равен (2r = 2 cdot 40 = 80). Обозначим сторону квадрата как (a). Тогда, по теореме Пифагора, (a^2 + a^2 = 80^2), откуда (2a^2 = 6400), следовательно, (a^2 = 3200). Площадь квадрата равна (a^2). \[S = a^2 = 3200\] Ответ: \(\bf{3200}\) Задача 5: Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 15. Решение: Диаметр окружности равен (2r = 2 cdot 15 = 30). Тогда (2a^2 = 30^2 = 900), и (a^2 = 450). \[S = a^2 = 450\] Ответ: \(\bf{450}\) Задача 6: Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 21. Решение: Диаметр окружности равен (2r = 2 cdot 21 = 42). Тогда (2a^2 = 42^2 = 1764), и (a^2 = 882). \[S = a^2 = 882\] Ответ: \(\bf{882}\) Задача 7: Сторона квадрата равна (4sqrt{2}). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата. Решение: Диагональ квадрата равна (asqrt{2} = 4sqrt{2} cdot sqrt{2} = 4 cdot 2 = 8). Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата. \[r = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4\] Ответ: \(\bf{4}\) Задача 8: Сторона квадрата равна (14sqrt{2}). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата. Решение: Диагональ квадрата равна (asqrt{2} = 14sqrt{2} cdot sqrt{2} = 14 cdot 2 = 28). Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата. \[r = \frac{d}{2} = \frac{28}{2} = 14\] Ответ: \(\bf{14}\) Задача 9: Сторона квадрата равна (18sqrt{2}). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата. Решение: Диагональ квадрата равна (asqrt{2} = 18sqrt{2} cdot sqrt{2} = 18 cdot 2 = 36). Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата. \[r = \frac{d}{2} = \frac{36}{2} = 18\] Ответ: \(\bf{18}\) Задача 10: Радиус окружности, описанной около квадрата, равен (16sqrt{2}). Найдите длину стороны этого квадрата. Решение: Диагональ квадрата равна (2r = 2 cdot 16sqrt{2} = 32sqrt{2}). Сторона квадрата (a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 32). \[a = 32\] Ответ: \(\bf{32}\) Задача 11: Радиус окружности, описанной около квадрата, равен (26sqrt{2}). Найдите длину стороны этого квадрата. Решение: Диагональ квадрата равна (2r = 2 cdot 26sqrt{2} = 52sqrt{2}). Сторона квадрата (a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{52\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 52). \[a = 52\] Ответ: \(\bf{52}\) Задача 12: Радиус окружности, описанной около квадрата, равен (32sqrt{2}). Найдите длину стороны этого квадрата. Решение: Диагональ квадрата равна (2r = 2 cdot 32sqrt{2} = 64sqrt{2}). Сторона квадрата (a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{64\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 64). \[a = 64\] Ответ: \(\bf{64}\)