195. Постройте графики уравнений системы. Определите, имеет ли система решение; если имеет, то укажите его. Если система имеет бесконечно много решений, то укажите какое-нибудь решение системы. а) \begin{cases} x+y=4 \\ 2x-y=1 \end{cases} б) \begin{cases} 2x+3y=6 \\ 4x+6y=12 \end{cases} в) \begin{cases} 4x-y=5 \\ 3x+2y=12 \end{cases} г) \begin{cases} x-2y=6 \\ 2x-4y=-8 \end{cases}

Решим каждую систему уравнений графически и определим количество решений. а) \begin{cases} x+y=4 \\ 2x-y=1 \end{cases} Из первого уравнения выразим y: $y = 4 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение: $2x - (4 - x) = 1$. $2x - 4 + x = 1$ $3x = 5$ $x = \frac{5}{3}$ Теперь найдем y: $y = 4 - \frac{5}{3} = \frac{12}{3} - \frac{5}{3} = \frac{7}{3}$ Система имеет одно решение: $(\frac{5}{3}, \frac{7}{3})$. Графики пересекаются в одной точке. б) \begin{cases} 2x+3y=6 \\ 4x+6y=12 \end{cases} Заметим, что второе уравнение можно получить, умножив первое уравнение на 2: $2(2x + 3y) = 2(6) \Rightarrow 4x + 6y = 12$. Так как оба уравнения эквивалентны, графики этих уравнений совпадают. Система имеет бесконечно много решений. Чтобы указать какое-нибудь решение, можно взять любое значение x и найти соответствующее значение y. Например, пусть $x=0$, тогда $2(0) + 3y = 6 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$. Решение: $(0, 2)$. в) \begin{cases} 4x-y=5 \\ 3x+2y=12 \end{cases} Выразим y из первого уравнения: $y = 4x - 5$. Подставим во второе уравнение: $3x + 2(4x - 5) = 12$. $3x + 8x - 10 = 12$ $11x = 22$ $x = 2$ Теперь найдем y: $y = 4(2) - 5 = 8 - 5 = 3$. Система имеет одно решение: $(2, 3)$. Графики пересекаются в одной точке. г) \begin{cases} x-2y=6 \\ 2x-4y=-8 \end{cases} Умножим первое уравнение на 2: $2(x - 2y) = 2(6) \Rightarrow 2x - 4y = 12$. Теперь сравним со вторым уравнением: $2x - 4y = -8$. Получили противоречие: $12 = -8$, что невозможно. Значит, система не имеет решений. Графики параллельны и не пересекаются. Развёрнутый ответ для школьника: Чтобы решить систему уравнений графически, нам нужно нарисовать графики каждого уравнения и посмотреть, где они пересекаются. Если графики пересекаются в одной точке, у системы одно решение. Если графики совпадают, у системы бесконечно много решений. Если графики параллельны и не пересекаются, у системы нет решений. а) Графики пересекаются в одной точке, значит, одно решение. б) Графики совпадают, значит, бесконечно много решений. Мы нашли одно из них: (0, 2). в) Графики пересекаются в одной точке, значит, одно решение: (2, 3). г) Графики параллельны и не пересекаются, значит, решений нет.