90 Пользуясь диаграммой Эйлера, докажите, что несовместны события: а) $\overline{A}$ и $A \cap B$; б) $A \cap B$ и $A \cap \overline{B}$.

Решение: а) Нужно доказать, что $\overline{A} \cap (A \cap B) = \emptyset$. $\overline{A}$ - это все элементы, не принадлежащие A. $A \cap B$ - это элементы, принадлежащие и A, и B. Очевидно, что не может быть элементов, которые одновременно не принадлежат A и принадлежат A. Следовательно, их пересечение пустое множество. б) Нужно доказать, что $(A \cap B) \cap (A \cap \overline{B}) = \emptyset$. $A \cap B$ - это элементы, принадлежащие и A, и B. $A \cap \overline{B}$ - это элементы, принадлежащие A и не принадлежащие B. Очевидно, что не может быть элементов, которые одновременно принадлежат B и не принадлежат B. Следовательно, их пересечение пустое множество.