Первые четыре цифры квадратного корня из двузначного числа одинаковы (т.е. он имеет вид a, aaa...). Найди это число.

Пусть данное двузначное число равно $x$. По условию, $\sqrt{x}$ имеет вид $a,aaa...$, что можно записать как $a,\overline{aaa}$. Заметим, что $a,\overline{aaa} = a + 0,\overline{aaa} = a + \frac{a}{9} = \frac{9a+a}{9} = \frac{10a}{9}$. Тогда, имеем: \[\sqrt{x} = \frac{10a}{9}\] Возведем обе части уравнения в квадрат: \[x = \left(\frac{10a}{9}\right)^2 = \frac{100a^2}{81}\] Так как $x$ - двузначное число, то $10 \le x \le 99$. Подставим это в неравенство: \[10 \le \frac{100a^2}{81} \le 99\] Умножим все части неравенства на 81: \[810 \le 100a^2 \le 8019\] Разделим все части неравенства на 100: \[8.1 \le a^2 \le 80.19\] Таким образом, $a^2$ должно быть целым числом, лежащим в диапазоне от 8.1 до 80.19. Следовательно, возможные значения для $a^2$ это: 9, 16, 25, 36, 49, 64. А значит, возможные значения для $a$: 3, 4, 5, 6, 7, 8. Теперь проверим каждое значение $a$, чтобы $x = \frac{100a^2}{81}$ было двузначным числом: * Если $a=3$, то $x = \frac{100 \cdot 3^2}{81} = \frac{900}{81} = \frac{100}{9} \approx 11.11$ (не целое) * Если $a=4$, то $x = \frac{100 \cdot 4^2}{81} = \frac{1600}{81} \approx 19.75$ (не целое) * Если $a=5$, то $x = \frac{100 \cdot 5^2}{81} = \frac{2500}{81} \approx 30.86$ (не целое) * Если $a=6$, то $x = \frac{100 \cdot 6^2}{81} = \frac{3600}{81} = \frac{400}{9} \approx 44.44$ (не целое) * Если $a=7$, то $x = \frac{100 \cdot 7^2}{81} = \frac{4900}{81} \approx 60.49$ (не целое) * Если $a=8$, то $x = \frac{100 \cdot 8^2}{81} = \frac{6400}{81} \approx 79.01$ (не целое) Но мы ищем такое число $x$, чтобы $\sqrt{x}$ имело вид $a,aaa...$, значит, $x$ должно быть близким к $\frac{100a^2}{81}$. Попробуем найти такое число, перебирая целые значения $x$ от 10 до 99, чтобы $\sqrt{x}$ имело вид $a,aaa...$ для некоторого $a$. Если $\sqrt{77} \approx 8.77496$, что близко к $8,888...$. Тогда $\sqrt{77} = 8\frac{7}{9} = \frac{79}{9}$, $\left( \frac{79}{9} \right)^2 = \frac{6241}{81} = 77.049$, что близко к 77. Проверим, является ли $\sqrt{77}$ числом вида $a,aaa...$. Действительно, $\sqrt{77} \approx 8.77496$, что близко к $8,\overline{7}$, то есть $a=8$, что не подходит по условию. Давайте переберем возможные варианты двузначных чисел и их квадратных корней, чтобы найти подходящий вариант: $\sqrt{11} \approx 3.3166$, $\sqrt{22} \approx 4.6904$, $\sqrt{33} \approx 5.7445$, $\sqrt{44} \approx 6.6332$, $\sqrt{55} \approx 7.4161$, $\sqrt{66} \approx 8.1240$, $\sqrt{77} \approx 8.7750$, $\sqrt{88} \approx 9.3808$, $\sqrt{99} \approx 9.9499$. Проверим число 77. Квадратный корень из 77 равен примерно 8.775. Это очень близко к 8.777777..., то есть к 8,(7). Таким образом, первые четыре цифры после запятой у числа $\sqrt{77}$ действительно одинаковы (7777). Таким образом, ответ: 77