Основаниями трапеции, вписанной в окружность, служат диаметр этой окружности и хорда, равная радиусу. Найдите наибольший угол трапеции (в градусах).

Рассмотрим трапецию $ABCD$, вписанную в окружность, где $AD$ - диаметр окружности, а $BC$ - хорда, равная радиусу. Так как трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной. Пусть $O$ - центр окружности. Соединим точки $B$ и $C$ с центром $O$. Тогда $OB = OC = R$, где $R$ - радиус окружности. Так как $BC = R$, треугольник $BOC$ - равносторонний, и $\angle BOC = 60^{\circ}$. Угол $BOC$ центральный, а угол $BAC$ - вписанный, опирающийся на ту же дугу $BC$. Тогда $\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Угол $BAD$ равен углу $BAC$ (так как $ABCD$ равнобедренная трапеция), то есть $\angle BAD = 30^{\circ}$. Сумма углов прилежащих к боковой стороне трапеции равна $180^{\circ}$. Следовательно, $\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$. Итак, углы трапеции равны $30^{\circ}, 150^{\circ}, 150^{\circ}, 30^{\circ}$. Наибольший угол трапеции равен $150^{\circ}$. Ответ: 150. Развернутое решение: 1. **Понимание условия:** Трапеция вписана в окружность, что означает, что все её вершины лежат на окружности. Одно из оснований трапеции – диаметр, а другое – хорда, равная радиусу окружности. 2. **Свойства трапеции, вписанной в окружность:** Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. 3. **Рассмотрение треугольника, образованного хордой и центром окружности:** Так как хорда $BC$ равна радиусу, то треугольник $BOC$ равносторонний. 4. **Вычисление угла $BOC$:** В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$, следовательно, $\angle BOC = 60^{\circ}$. 5. **Нахождение угла $BAC$:** Угол $BAC$ – вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол $BOC$. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 6. **Определение угла $BAD$:** Так как трапеция равнобедренная, $\angle BAD = 30^{\circ}$. 7. **Нахождение угла $ABC$:** Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ}$. Значит, $\angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$. 8. **Вывод:** Углы трапеции: $30^{\circ}, 150^{\circ}, 150^{\circ}, 30^{\circ}$. Наибольший угол равен $150^{\circ}$.