Основанием прямой призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(A\) и катетами \(AC = 5\) и \(AB = 12\). Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1BC\), если \(AA_1 = 15\).

Пусть \(AD\) - высота, опущенная из вершины прямого угла \(A\) на гипотенузу \(BC\) треугольника \(ABC\). 1. Найдем гипотенузу \(BC\) треугольника \(ABC\) по теореме Пифагора: \[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13.\] 2. Найдем площадь треугольника \(ABC\): \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30.\] 3. Выразим площадь треугольника \(ABC\) через гипотенузу и высоту: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD.\] Отсюда найдем высоту \(AD\): \[AD = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 30}{13} = \frac{60}{13}.\] 4. Угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1BC\) - это линейный угол, образованный перпендикулярами к линии пересечения этих плоскостей. В нашем случае таким углом является \(\angle ADA_1\). 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADA_1\). В нем: \(AA_1 = 15\) - катет, \(AD = \frac{60}{13}\) - катет. Тогда тангенс угла \(\angle ADA_1\) равен: \[\tan(\angle ADA_1) = \frac{AA_1}{AD} = \frac{15}{\frac{60}{13}} = \frac{15 \cdot 13}{60} = \frac{13}{4} = 3.25.\] 6. Найдем сам угол: \[\angle ADA_1 = \arctan(3.25) \approx 72.87^\circ\] Округлим до целых градусов: \(73^\circ\). Ответ: \( \arctan(3.25) \approx 73^\circ\) Развернутый ответ: Для решения задачи нужно найти угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1BC\). Этот угол равен углу между перпендикуляром, опущенным из точки \(A\) на гипотенузу \(BC\) (это отрезок \(AD\)), и отрезком \(A_1D\). Таким образом, искомый угол – это \(\angle ADA_1\). Чтобы его найти, необходимо вычислить тангенс этого угла, который равен отношению \(AA_1\) к \(AD\). Длина \(AA_1\) известна (15), а длину \(AD\) можно найти, вычислив сначала площадь треугольника \(ABC\) и затем используя формулу площади через гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу. В итоге получаем \(\tan(\angle ADA_1) = 3.25\), откуда находим сам угол, используя арктангенс.