Основанием прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ и катетами $AC = 5$ и $AB = 12$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1BC$, если $AA_1 = 15$.

Задача: Найти угол между плоскостями $ABC$ и $A_1BC$. Решение: 1. Определим тангенс угла наклона плоскости $A_1BC$ к плоскости $ABC$. Угол между плоскостями – это угол между перпендикуляром, опущенным из точки $A_1$ на плоскость $ABC$, и прямой $AD$, где $D$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $BC$. 2. Найдем длину стороны $BC$ треугольника $ABC$ по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ 3. Вычислим площадь треугольника $ABC$ двумя способами: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD$ Отсюда, выразим $AD$: $AD = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 30}{13} = \frac{60}{13}$ 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AD$. В этом треугольнике катет $AA_1$ перпендикулярен плоскости $ABC$, а $AD$ – перпендикуляр от точки $A$ до прямой $BC$. Тогда тангенс угла $\phi$ между плоскостями $ABC$ и $A_1BC$ равен отношению $AA_1$ к $AD$: $\tan(\phi) = \frac{AA_1}{AD} = \frac{15}{\frac{60}{13}} = \frac{15 \cdot 13}{60} = \frac{13}{4} = 3.25$ 5. Найдем угол $\phi$: $\phi = \arctan(3.25)$ Чтобы найти значение арктангенса, можно воспользоваться калькулятором или таблицей значений. Приблизительно, $\arctan(3.25) \approx 72.8 \ градус$ Ответ: Угол между плоскостями $ABC$ и $A_1BC$ равен $\arctan(3.25)$ или приблизительно $72.8^\circ$.