Определитель Вронского для дифференциального уравнения \(\frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} - 12 = 0\) равен

Для решения этой задачи нам необходимо найти общее решение дифференциального уравнения \(\frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} - 12 = 0\). Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. 1. **Составим характеристическое уравнение:** Заменим \(\frac{d^2x}{dt^2}\) на \(k^2\), \(\frac{dx}{dt}\) на \(k\), и \(x\) на 1. Получим: \[k^2 - k - 12 = 0\] 2. **Решим характеристическое уравнение:** Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения или теоремы Виета. Разложим на множители: \[(k - 4)(k + 3) = 0\] Таким образом, корни характеристического уравнения: \[k_1 = 4, \quad k_2 = -3\] 3. **Запишем общее решение дифференциального уравнения:** Поскольку корни характеристического уравнения вещественные и различные, общее решение имеет вид: \[x(t) = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-3t}\] где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные. 4. **Найдем первую производную общего решения:** \[\frac{dx}{dt} = 4C_1 e^{4t} - 3C_2 e^{-3t}\] 5. **Вычислим определитель Вронского:** Определитель Вронского для двух линейно независимых решений \(x_1(t)\) и \(x_2(t)\) определяется как: \[W(t) = \begin{vmatrix} x_1(t) & x_2(t) \\ x_1'(t) & x_2'(t) \end{vmatrix} = x_1(t)x_2'(t) - x_2(t)x_1'(t)\] В нашем случае, \(x_1(t) = e^{4t}\) и \(x_2(t) = e^{-3t}\). Подставим наши решения и их производные в определитель Вронского: \[W(t) = \begin{vmatrix} e^{4t} & e^{-3t} \\ 4e^{4t} & -3e^{-3t} \end{vmatrix} = e^{4t}(-3e^{-3t}) - e^{-3t}(4e^{4t}) = -3e^t - 4e^t = -7e^t\] Таким образом, определитель Вронского равен \(-7e^t\). Среди предложенных вариантов ответа нет \(-7e^t\). Вероятно, в условии задачи или в вариантах ответа есть опечатка. Ближайший вариант к правильному ответу это \(ce^{-7t}\), если в условии была допущена ошибка.