Определите номер наибольшего члена последовательности, заданной формулой n-го члена c_n=-n^2+35 1/3 n+31.

\[c_{n} = - n^{2} + 35\frac{1}{3}n + 31 =\]

\[= - \left( n^{2} - 35\frac{1}{3}n - 31 \right) =\]

\[= - \left( \left( n - 17\frac{2}{3} \right)^{2} - 343\frac{1}{9} \right) =\]

\[= 343\frac{1}{9} - \left( n - 17\frac{2}{3} \right)^{2} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow n = 17\ или\ n = 18.\]

\[c_{17} = 343\frac{1}{9} - \left( 17 - 17\frac{2}{3} \right)^{2} =\]

\[= 343\frac{1}{9} - \left( \frac{2}{3} \right)^{2} = 343\frac{1}{9} - \frac{4}{9} =\]

\[= 342\frac{2}{3}\]

\[c_{18} = 343\frac{1}{9} - \left( 18 - 17\frac{2}{3} \right)^{2} =\]

\[= 343\frac{1}{9} - \left( \frac{1}{3} \right)^{2} =\]

\[= 343\frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 343\]

\[343 > 342\frac{2}{3} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow c_{18} - наибольший.\]

\[Ответ:18.\]