8. Определите число решений системы уравнений: \[\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = -x^2 + 3. \end{cases}\] Ответ обоснуйте.

Рассмотрим систему уравнений: \[\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = -x^2 + 3 \end{cases}\] Первое уравнение представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом 3. Второе уравнение представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 3). Чтобы найти число решений системы, подставим выражение для $x^2$ из второго уравнения в первое: $x^2 = 3 - y$ $(3 - y) + y^2 = 9$ $y^2 - y - 6 = 0$ Решим квадратное уравнение относительно $y$: $D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$ $y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$ $y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2$ Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$: 1) Если $y = 3$, то $x^2 = 3 - 3 = 0$, следовательно, $x = 0$. Таким образом, первое решение (0, 3). 2) Если $y = -2$, то $x^2 = 3 - (-2) = 5$, следовательно, $x = \pm\sqrt{5}$. Таким образом, второе и третье решения $(\sqrt{5}, -2)$ и $(-\sqrt{5}, -2)$. Всего у системы три решения: (0, 3), $(\sqrt{5}, -2)$ и $(-\sqrt{5}, -2)$. **Ответ: 3 решения**