Определение максимального объёма

На математическом конкурсе ученикам было дано задание изготовить коробочку, высота которой равна 6 см, а периметр основания равен 36 см. Победит та команда, у которой объём коробочки будет наибольшим. Какими должны быть размеры коробочки, чтобы команда победила? Каким должен быть наибольший объём коробочки? Решение: Пусть длина основания коробочки равна \(x\) см, а ширина основания равна \(y\) см. Так как периметр основания равен 36 см, то: \[2(x + y) = 36\] \[x + y = 18\] Выразим \(y\) через \(x\): \[y = 18 - x\] Объём коробочки \(V\) можно выразить как: \[V = x \cdot y \cdot h\] где \(h\) - высота коробочки, которая равна 6 см. Подставим выражение для \(y\) и значение \(h\) в формулу для объёма: \[V = x(18 - x) \cdot 6\] \[V = 6x(18 - x)\] \[V = 108x - 6x^2\] Чтобы найти максимальный объём, нужно найти вершину параболы, заданной уравнением \(V(x) = -6x^2 + 108x\). Координата \(x\) вершины параболы определяется формулой: \[x_в = -\frac{b}{2a}\] В нашем случае \(a = -6\) и \(b = 108\), следовательно: \[x_в = -\frac{108}{2 \cdot (-6)} = \frac{108}{12} = 9\] Итак, \(x = 9\) см. Теперь найдём \(y\): \[y = 18 - x = 18 - 9 = 9\] Значит, \(y = 9\) см. Таким образом, основание коробочки должно быть квадратом со стороной 9 см. Высота коробочки равна 6 см. Размеры коробочки: 9 см x 9 см x 6 см. Теперь найдём максимальный объём: \[V_{max} = 9 \cdot 9 \cdot 6 = 81 \cdot 6 = 486\] Максимальный объём равен 486 см³. **Ответ:** Размеры коробки должны быть 9 см x 9 см x 6 см. Максимальный объём должен быть 486 см³.