Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

\[Пусть\ a\ см - одна\ сторона\ прямоугольника,\ \]

\[тогда\ (a + 7) = b\ см - другая\ сторона.\]

\[\ Зная,\ что\ диагональ\ равна\ 13\ см,\ по\ \]

\[теореме\ Пифагора\ получаем:\]

\[a^{2} + b^{2} = 169.\ \]

\[Составим\ систему\ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} a + 7 = b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ a^{2} + b^{2} = 169 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} b = a + 7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ a^{2} + (a + 7)^{2} = 169 \\ \end{matrix} \right.\ \ \]

\[a^{2} + a^{2} + 14a + 49 - 169 = 0\]

\[2a^{2} + 14a - 120 = 0\ \ \ \ \ |\ :2\]

\[a^{2} + 7a - 60 = 0\]

\[a_{1} + a_{2} = - 7;\ \ \ \ a_{1} \cdot a_{2} = - 60\]

\[a_{1} = - 12\ (не\ подходит);\ \ \ a_{2} = 5.\]

\[\left\{ \begin{matrix} a = 5\ \ \ \ \ \ \ \ \\ b = 5 + 7 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} a = 5 \\ b = 7 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ }\]

\[Ответ:сторону\ прямоугольника\ \]

\[\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }равны\ 5\ см\ и\ 7\ см.\]