Несколько одноклассников организовали турнир по шашкам. Каждый участник турнира сыграл с каждым по одной партии. За выигрыш присуждали 2 очка, за ничью– 1 очко, за проигрыш – 0 очков. Пять самых слабых игроков набрали вместе 22 очка – в 4 раза меньше, чем остальные участники, вместе взятые. Сколько было участников турнира?

\[22 \cdot 4 = 88\ (очков) - набрали\ \]

\[остальные.\]

\[22 + 88 = 110\ (очков) - всего.\]

\[110:2 = 55\ (партий) - всего.\]

\[Пусть\ x - игроков.\]

\[\frac{x - 1}{2} - сыграно\ партий.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[\frac{x(x - 1)}{2} = 55\]

\[x(x - 1) = 110\]

\[x^{2} - x - 110 = 0\]

\[D = ( - 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 110) =\]

\[= 1 + 440 = 441;\ \ \ \sqrt{D} = 21\]

\[x_{1} = \frac{1 + 21}{2} = \frac{22}{2} =\]

\[= 11\ (участников) - турнира.\]

\[x_{2} = \frac{1 - 21}{2} = \frac{- 20}{2} =\]

\[= - 10\ (не\ подходит).\]

\[Ответ:11\ участников.\]