6. Непростое уравнение с простыми. Запиши сумму всех решений уравнения $n^2 + p^2 = 3np + 1$, где $n$ — натуральное число, $p$ — простое. (Для каждого решения найди $n + p$ и в ответе запиши сумму всех таких значений.)

Нам дано уравнение $n^2 + p^2 = 3np + 1$, где $n$ – натуральное число, а $p$ – простое число. Нужно найти все решения этого уравнения и вычислить сумму $n + p$ для каждого решения, а затем сложить все эти суммы. Преобразуем уравнение: $n^2 - 3np + p^2 - 1 = 0$ Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $n$: $n = \frac{3p \pm \sqrt{(3p)^2 - 4(p^2 - 1)}}{2} = \frac{3p \pm \sqrt{9p^2 - 4p^2 + 4}}{2} = \frac{3p \pm \sqrt{5p^2 + 4}}{2}$ Для того чтобы $n$ было целым числом, необходимо, чтобы $5p^2 + 4$ было полным квадратом. Пусть $5p^2 + 4 = k^2$, где $k$ – целое число. $5p^2 = k^2 - 4 = (k - 2)(k + 2)$ Поскольку $p$ – простое число, возможны несколько вариантов разложения числа $5p^2$ на множители: 1) $k - 2 = 1$ и $k + 2 = 5p^2$. Тогда $k = 3$, $k + 2 = 5$, следовательно, $5p^2 = 5$, $p^2 = 1$, $p = 1$. Но 1 не является простым числом, поэтому этот вариант не подходит. 2) $k - 2 = 5$ и $k + 2 = p^2$. Тогда $k = 7$, $k + 2 = 9$, следовательно, $p^2 = 9$, $p = 3$. Подставим $p = 3$ в формулу для $n$: $n = \frac{3(3) \pm \sqrt{5(3^2) + 4}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{45 + 4}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{9 \pm 7}{2}$ $n_1 = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$ $n_2 = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Таким образом, при $p = 3$ получаем два решения: $(n, p) = (8, 3)$ и $(n, p) = (1, 3)$. 3) $k - 2 = p$ и $k + 2 = 5p$. Тогда $k = p + 2$, $k + 2 = p + 4$, следовательно, $p + 4 = 5p$, $4p = 4$, $p = 1$. Но 1 не является простым числом, поэтому этот вариант не подходит. 4) $k - 2 = 5p$ и $k + 2 = p$. Тогда $k = 5p + 2$, $k + 2 = 5p + 4$, следовательно, $5p + 4 = p$, $4p = -4$, $p = -1$. Но $-1$ не является простым числом, поэтому этот вариант не подходит. 5) $k - 2 = p^2$ и $k + 2 = 5$. Тогда $k = 3$, $k - 2 = 1$, следовательно, $p^2 = 1$, $p = 1$. Но 1 не является простым числом, поэтому этот вариант не подходит. 6) $k - 2 = 5$ и $k + 2 = p^2$ (рассмотрено выше). 7) $k - 2 = p^2$ и $k + 2 = 5$. Тогда $k = 3$, $k - 2 = p^2$, $p^2 = 1$, $p = 1$ (не подходит). Итак, мы нашли два решения: $(n, p) = (8, 3)$ и $(n, p) = (1, 3)$. Для первого решения $n + p = 8 + 3 = 11$. Для второго решения $n + p = 1 + 3 = 4$. Сумма всех таких значений $n + p$ равна $11 + 4 = 15$. Ответ: 15