Найти первообразную функции

## 1. Найти первообразную функции **a) \(f(x) = \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}\)** Для начала преобразуем функцию для удобства интегрирования: \[f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}}\] Теперь найдем первообразную, используя правило \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\): \[F(x) = \int (x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}}) dx = \int x^{\frac{1}{2}} dx - 2\int x^{-\frac{1}{2}} dx\] \[F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} - 2\frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C\] \[F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 4x^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} + C\] **Ответ: \(F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} + C\)** **б) \(f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{4}{x^2}\)** Преобразуем функцию: \[f(x) = 2x^{-3} - 4x^{-2}\] Найдем первообразную: \[F(x) = \int (2x^{-3} - 4x^{-2}) dx = 2\int x^{-3} dx - 4\int x^{-2} dx\] \[F(x) = 2\frac{x^{-3 + 1}}{-3 + 1} - 4\frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} + C = 2\frac{x^{-2}}{-2} - 4\frac{x^{-1}}{-1} + C\] \[F(x) = -x^{-2} + 4x^{-1} + C = -\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} + C\] **Ответ: \(F(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} + C\)** **в) \(f(x) = \sqrt{6x} - 2\)** Преобразуем функцию: \[f(x) = \sqrt{6} \cdot x^{\frac{1}{2}} - 2\] Найдем первообразную: \[F(x) = \int (\sqrt{6} \cdot x^{\frac{1}{2}} - 2) dx = \sqrt{6}\int x^{\frac{1}{2}} dx - 2\int dx\] \[F(x) = \sqrt{6}\frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} - 2x + C = \sqrt{6}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2x + C\] \[F(x) = \frac{2}{3}\sqrt{6} \cdot x^{\frac{3}{2}} - 2x + C = \frac{2}{3}\sqrt{6}x\sqrt{x} - 2x + C\] **Ответ: \(F(x) = \frac{2}{3}\sqrt{6}x\sqrt{x} - 2x + C\)** ## 2. Вычислить интеграл **a) \(\int_{1}^{4} \frac{\sqrt[4]{x}}{x} dx\)** Преобразуем интеграл: \[\int_{1}^{4} \frac{x^{\frac{1}{4}}}{x} dx = \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{4} - 1} dx = \int_{1}^{4} x^{-\frac{3}{4}} dx\] Найдем интеграл: \[\int_{1}^{4} x^{-\frac{3}{4}} dx = \frac{x^{-\frac{3}{4} + 1}}{-\frac{3}{4} + 1} \bigg|_{1}^{4} = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}} \bigg|_{1}^{4} = 4x^{\frac{1}{4}} \bigg|_{1}^{4}\] Подставим пределы интегрирования: \[4(4^{\frac{1}{4}} - 1^{\frac{1}{4}}) = 4(\sqrt[4]{4} - 1) = 4(\sqrt{2} - 1)\] **Ответ: \(4(\sqrt{2} - 1)\)** **б) \(\int_{-2}^{0} (x^5 - 3x^2) dx\)** Найдем интеграл: \[\int_{-2}^{0} (x^5 - 3x^2) dx = \int_{-2}^{0} x^5 dx - 3\int_{-2}^{0} x^2 dx\] \[= \frac{x^6}{6} \bigg|_{-2}^{0} - 3\frac{x^3}{3} \bigg|_{-2}^{0} = \frac{x^6}{6} \bigg|_{-2}^{0} - x^3 \bigg|_{-2}^{0}\] Подставим пределы интегрирования: \[= (\frac{0^6}{6} - \frac{(-2)^6}{6}) - (0^3 - (-2)^3) = (0 - \frac{64}{6}) - (0 - (-8))\] \[= -\frac{32}{3} - 8 = -\frac{32}{3} - \frac{24}{3} = -\frac{56}{3}\] **Ответ: \(-\frac{56}{3}\)**