Найти частное решение уравнения y'' - 10y' + 25y = 0, если y = 2, y' = 8 при x = 0.

Для решения задачи найдем общее решение дифференциального уравнения, затем воспользуемся данными начальных условий для определения произвольных постоянных. Уравнение y'' - 10y' + 25y = 0 является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение будет r^2 - 10r + 25 = 0. Решив его, получаем (r - 5)^2 = 0, то есть r = 5 (корень кратности 2). Общее решение уравнения: y(x) = (C1 + C2*x)e^(5x), где C1 и C2 — произвольные постоянные. Используем начальные условия: y(0) = 2, y'(0) = 8. Подставим y(0): 2 = (C1 + C2*0)e^(0) = C1. Подставим y'(0): y'(x) = (C2 + 5(C1 + C2*x))e^(5x). y'(0) = (C2 + 5C1)e^(0) = C2 + 5C1. Тогда 8 = C2 + 5*2. Отсюда C2 = -2. Таким образом, решение: y(x) = (2 - 2x)e^(5x).