Найдите все целые значения дроби $\frac{(n-3)(n-5)+2}{n-5}, n \in N$. В ответе укажите сумму найденных значений.

Выполним преобразование выражения: $\frac{(n-3)(n-5)+2}{n-5} = \frac{(n-3)(n-5)}{n-5} + \frac{2}{n-5} = n-3 + \frac{2}{n-5}$ Для того чтобы данное выражение принимало целые значения, необходимо, чтобы дробь $\frac{2}{n-5}$ также была целым числом. Это возможно, если знаменатель $(n-5)$ является делителем числа 2. Делители числа 2: -2, -1, 1, 2. Тогда возможные значения для $n-5$: 1) $n-5 = -2$, следовательно, $n = 3$. 2) $n-5 = -1$, следовательно, $n = 4$. 3) $n-5 = 1$, следовательно, $n = 6$. 4) $n-5 = 2$, следовательно, $n = 7$. Проверим, что $n \in N$ (множество натуральных чисел). Все найденные значения $n$ являются натуральными числами, поэтому они подходят. Теперь вычислим значения выражения для каждого $n$: 1) $n=3$: $3-3 + \frac{2}{3-5} = 0 + \frac{2}{-2} = -1$ (целое число). 2) $n=4$: $4-3 + \frac{2}{4-5} = 1 + \frac{2}{-1} = 1 - 2 = -1$ (целое число). 3) $n=6$: $6-3 + \frac{2}{6-5} = 3 + \frac{2}{1} = 3 + 2 = 5$ (целое число). 4) $n=7$: $7-3 + \frac{2}{7-5} = 4 + \frac{2}{2} = 4 + 1 = 5$ (целое число). Все значения $n$ приводят к целым значениям выражения. Теперь найдем сумму этих значений $n$: $3 + 4 + 6 + 7 = 20$ **Ответ: 20**