Найдите величину угла \(ODC\).

Давайте решим эту задачу по геометрии. 1. **Анализ условия:** - У нас есть окружность с центром в точке \(O\). - \(AD\) и \(BC\) - диаметры этой окружности. - Угол \(\angle ABO = 55^{\circ}\). - Нужно найти величину угла \(\angle ODC\). 2. **Решение:** - Так как \(AD\) и \(BC\) - диаметры, то \(OA = OB = OC = OD\) (радиусы окружности). - Следовательно, треугольник \(\triangle ABO\) - равнобедренный (так как \(OA = OB\)). - В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, \(\angle BAO = \angle ABO = 55^{\circ}\). - Рассмотрим треугольник \(\triangle BOC\). Он также равнобедренный (так как \(OB = OC\)). - Угол \(\angle BOC\) является вертикальным углом к углу \(\angle AOB\), значит, \(\angle BOC = \angle AOB\). - Сумма углов в треугольнике \(\triangle ABO\) равна \(180^{\circ}\). Следовательно, \[\angle AOB = 180^{\circ} - (\angle BAO + \angle ABO) = 180^{\circ} - (55^{\circ} + 55^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}.\] - Значит, \(\angle BOC = 70^{\circ}\). - Теперь найдем углы при основании треугольника \(\triangle BOC\). Так как он равнобедренный, то \(\angle OBC = \angle OCB\). \[\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ} - \angle BOC}{2} = \frac{180^{\circ} - 70^{\circ}}{2} = \frac{110^{\circ}}{2} = 55^{\circ}.\] - Рассмотрим треугольник \(\triangle COD\). Он тоже равнобедренный (так как \(OC = OD\)). - Угол \(\angle COD\) является вертикальным углом к углу \(\angle AOB\), значит, \(\angle COD = \angle AOB = 70^{\circ}\). - Теперь найдем углы при основании треугольника \(\triangle COD\). Так как он равнобедренный, то \(\angle ODC = \angle OCD\). \[\angle ODC = \angle OCD = \frac{180^{\circ} - \angle COD}{2} = \frac{180^{\circ} - 70^{\circ}}{2} = \frac{110^{\circ}}{2} = 55^{\circ}.\] **Ответ:** Величина угла \(\angle ODC = 55^{\circ}\).