Найдите углы при основании MP равнобедренного треугольника MOP, если MK - его биссектриса и ∠OKM = 93°.

1. **Определение биссектрисы:** Биссектриса MK делит угол MOP пополам. Обозначим ∠MOK как x. Тогда ∠KOP также будет равен x. 2. **Сумма углов треугольника:** Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Рассмотрим треугольник OKM. Мы знаем ∠OKM = 93°, а также знаем, что треугольник MOP равнобедренный, то есть углы при основании MP равны. Обозначим углы ∠OMP и ∠OPM как y. 3. **Углы в треугольнике OKM:** Сумма углов ∠MOK + ∠OKM + ∠OMK = 180°. Подставим известные значения: x + 93° + ∠OMK = 180°. Отсюда, ∠OMK = 180° - 93° - x = 87° - x. 4. **Углы в треугольнике MOP:** Так как треугольник MOP равнобедренный, углы при основании равны: ∠OMP = ∠OPM = y. Также, ∠MOP = 2x. Сумма углов треугольника MOP равна 180°, следовательно 2x + y + y = 180° или 2x + 2y = 180°, что можно упростить до x + y = 90°. 5. **Связь с углом OMK:** В треугольнике OKM угол OMK равен 87° - x. Так как угол OMP = y, то угол OMK также равен y. Следовательно, y = 87° - x. 6. **Решение системы уравнений:** У нас есть два уравнения: x + y = 90° и y = 87° - x. Подставим второе уравнение в первое: x + 87° - x = 90°. Это неверно, что означает, что угол OMK не равен углу OMP. Угол OMK = 180 - ∠OKM - ∠MOK = 180 - 93 - x = 87 - x. 7. **Уточнение и пересмотр:** Угол OKM = 93 градуса, это угол треугольника OKM, а треугольник MOP равнобедренный, то есть OM = OP, тогда ∠OMP = ∠OPM = y, ∠MOP=2x. В треугольнике OKM: x + 93 + ∠OMK = 180 => ∠OMK=180-93-x= 87 - x. Угол OMK является частью угла OMP = y. ∠OMK + ∠KMP = ∠OMP=y, если ∠OMK = 87-x, а ∠OMP=y. Тогда y=87-x, значит, x+y=90, то есть x+87-x=90, а это означает, что 87=90, значит, y не 87-x. 8. **Другой подход:** У нас есть биссектриса МК, и угол OKM = 93. В треугольнике OKM : ∠MOK + ∠OKM + ∠OMK = 180. Подставим ∠OKM = 93 => ∠MOK + ∠OMK=180-93 = 87. ∠MOK = x. Значит, ∠OMK = 87-x. В равнобедренном треугольнике MOP: ∠MOP = 2x, ∠OMP = ∠OPM = y, => 2x+2y = 180. x + y = 90. 9. **Связь углов:** ∠OMK = 87-x. Так как MK биссектриса, значит ∠OMK+ ∠KMP = y, но ∠KMP = ∠OMK, так как треугольник MOP равнобедренный и МК - биссектриса. Тогда 2*∠OMK = y => 2*(87-x) = y => 174 - 2x = y. 10. **Решение системы:** x+y=90, y = 174-2x => x + 174 - 2x = 90 => -x = 90-174 => -x = -84 => x=84. Значит y=90-x=90-84=6. Значит ∠OMP = ∠OPM=6, ∠MOP = 2x=2*84=168. 2*6+168 = 180. Угол OKM не 93, так как ∠MOP = 180-2y. 11. **Финальное вычисление:** Если ∠OKM = 93, то ∠OMK = 180 - 93 - x = 87 - x. ∠OMK=∠KMP. 2(87 - x)=y, 174-2x = y, x+y=90, тогда x + 174-2x = 90 => -x = 90-174 => -x = -84, x=84. y=90-84=6. ∠OMP = ∠OPM = 6°.