10. Найдите tg 2$\alpha$, если $sin \alpha = \frac{\sqrt{17}}{9}$ и $-\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2}$

Сначала найдем $cos \alpha$. Так как $-\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2}$, то $cos \alpha < 0$. $cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{17}}{9})^2 = 1 - \frac{17}{81} = \frac{81 - 17}{81} = \frac{64}{81}$. $cos \alpha = -\sqrt{\frac{64}{81}} = -\frac{8}{9}$. Теперь найдем $tg \alpha$. $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{9}}{-\frac{8}{9}} = -\frac{\sqrt{17}}{8}$. Используем формулу для тангенса двойного угла: $tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha}$. Подставляем значение $tg \alpha$: $tg 2\alpha = \frac{2(-\frac{\sqrt{17}}{8})}{1 - (-\frac{\sqrt{17}}{8})^2} = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{4}}{1 - \frac{17}{64}} = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{64 - 17}{64}} = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{47}{64}} = -\frac{\sqrt{17}}{4} * \frac{64}{47} = -\frac{16\sqrt{17}}{47}$. Ответ: $-\frac{16\sqrt{17}}{47}$