Найдите синус, косинус, тангенс углов A и B прямоугольного треугольника ABC, если: а) AC = 4, AB = 5; б) AC = 15, BC = 8; в) BC = 6√3, AB = 9√2.

Давайте решим задачу по поиску синуса, косинуса и тангенса углов A и B в прямоугольных треугольниках. **a) AC = 4, AB = 5** Сначала найдем сторону BC, используя теорему Пифагора: \[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\] Теперь найдем синус, косинус и тангенс углов A и B: \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}\] \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}\] \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}\] \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}\] \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}\] \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{3}\] **б) AC = 15, BC = 8** Сначала найдем сторону AB, используя теорему Пифагора: \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\] Теперь найдем синус, косинус и тангенс углов A и B: \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}\] \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}\] \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}\] \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}\] \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}\] \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}\] **в) BC = 6√3, AB = 9√2** Сначала найдем сторону AC, используя теорему Пифагора: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{162 - 108} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\] Теперь найдем синус, косинус и тангенс углов A и B: \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6\sqrt{3}}{9\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\] \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{6}}{9\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\] \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{6\sqrt{3}}{3\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{18}}{6} = \frac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}\] \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{6}}{9\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\] \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{6\sqrt{3}}{9\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\] \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3\sqrt{6}}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] **Итоговые ответы:** **a)** * \(\sin A = \frac{3}{5}, \cos A = \frac{4}{5}, \tan A = \frac{3}{4}\) * \(\sin B = \frac{4}{5}, \cos B = \frac{3}{5}, \tan B = \frac{4}{3}\) **б)** * \(\sin A = \frac{8}{17}, \cos A = \frac{15}{17}, \tan A = \frac{8}{15}\) * \(\sin B = \frac{15}{17}, \cos B = \frac{8}{17}, \tan B = \frac{15}{8}\) **в)** * \(\sin A = \frac{\sqrt{6}}{3}, \cos A = \frac{\sqrt{3}}{3}, \tan A = \sqrt{2}\) * \(\sin B = \frac{\sqrt{3}}{3}, \cos B = \frac{\sqrt{6}}{3}, \tan B = \frac{\sqrt{2}}{2}\) **Объяснение:** 1. **Теорема Пифагора:** В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (стороны, противоположной прямому углу) равен сумме квадратов двух других сторон (катетов). Это используется для нахождения недостающей стороны треугольника. 2. **Синус, Косинус, Тангенс:** Это тригонометрические функции, которые связывают углы треугольника с отношениями его сторон. * Синус угла (sin) - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. * Косинус угла (cos) - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. * Тангенс угла (tan) - это отношение противолежащего катета к прилежащему. Важно понимать, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла, и наоборот. Тангенсы этих углов являются взаимно обратными величинами.