Найдите ранг матрицы: \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\]

Для нахождения ранга матрицы, нужно привести её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Исходная матрица: \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\] 1. Поменяем местами строки 1 и 3, чтобы избежать нуля в начале первой строки: \[\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\] 2. Умножим строку 1 на $\frac{1}{2}$: \[\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\] 3. Прибавим к строке 4 строку 1: \[\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & \frac{5}{2} & -1 & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\] 4. Вычтем из строки 3 строку 2: \[\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & -1 & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\] 5. Умножим строку 2 на $-\frac{5}{2}$ и прибавим к строке 4: \[\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{17}{2} & -6 & -\frac{11}{2} & -3 \end{pmatrix}\] 6. Умножим строку 3 на $-\frac{17}{6}$ и прибавим к строке 4: \[\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{25}{3} & -\frac{22}{6} & -3 \end{pmatrix}\] Все строки, кроме нулевых, содержат ненулевые элементы. Следовательно, ранг матрицы равен числу ненулевых строк, то есть 4. Ответ: 4