Найдите промежутки монотонности функции $y = x^3 + 3x^2 - 9x - 27$.

Для нахождения промежутков монотонности функции необходимо найти её производную, определить критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует) и исследовать знак производной на промежутках между этими точками. 1. Находим производную функции: $y' = (x^3 + 3x^2 - 9x - 27)' = 3x^2 + 6x - 9$ 2. Находим критические точки: Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение: $3x^2 + 6x - 9 = 0$ Делим обе части на 3: $x^2 + 2x - 3 = 0$ Решаем квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16$ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ Итак, критические точки: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. 3. Определяем промежутки монотонности: Рассмотрим промежутки, на которые критические точки делят числовую прямую: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$, $(1; +\infty)$. * На промежутке $(-\infty; -3)$ выберем тестовое значение, например, $x = -4$. Подставим в производную: $y'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$. Значит, функция возрастает на этом промежутке. * На промежутке $(-3; 1)$ выберем тестовое значение, например, $x = 0$. Подставим в производную: $y'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0$. Значит, функция убывает на этом промежутке. * На промежутке $(1; +\infty)$ выберем тестовое значение, например, $x = 2$. Подставим в производную: $y'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 3(4) + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$. Значит, функция возрастает на этом промежутке. 4. Записываем ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$. Функция убывает на промежутке $[-3; 1]$. Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$, убывает на $[-3; 1]$.