Найдите площадь треугольника $AMN$, если площадь треугольника $ABC$ равна 70, $AM:AB = 3:7$ и $AN:AC = 3:5$.

Площадь треугольника $AMN$ можно найти, используя отношение площадей подобных треугольников и знание площади треугольника $ABC$. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. В данном случае, треугольники $AMN$ и $ABC$ имеют общий угол $A$. Площадь треугольника можно выразить как $\frac{1}{2}ab\sin(C)$, где $a$ и $b$ - длины двух сторон, а $C$ - угол между ними. Итак, у нас есть: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A) = 70$ $S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin(A)$ Мы знаем, что $AM:AB = 3:7$ и $AN:AC = 3:5$. Это означает, что $AM = \frac{3}{7}AB$ и $AN = \frac{3}{5}AC$. Подставим эти значения в формулу для площади треугольника $AMN$: $S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{7}AB) \cdot (\frac{3}{5}AC) \cdot \sin(A) = \frac{9}{35} \cdot (\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A))$ Так как $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A) = 70$, то $S_{AMN} = \frac{9}{35} \cdot S_{ABC} = \frac{9}{35} \cdot 70 = 9 \cdot 2 = 18$ Таким образом, площадь треугольника $AMN$ равна 18. **Ответ: 18**