Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма шести первых её членов равна -51, а сумма четырнадцати первых членов равна 49.

Ответ:

\[\left\{ \begin{matrix} S_{6} = - 51 \\ S_{14} = 49\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{2a_{1} + 5d}{2} \cdot 6 = - 51 \\ \frac{2a_{1} + 13d}{2} \cdot 14 = 49 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} \left( 2a_{1} + 5d \right) \cdot 3 = - 51\ \ \ |\ :3 \\ \left( 2a_{1} + 13d \right) \cdot 7 = 49\ \ \ |\ :7\ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 2a_{1} + 5d = - 17 \\ 2a_{1} + 13d = 7\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \ ( - )\text{\ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} - 8d = - 24\ \ \ \\ a_{1} = \frac{7 - 13d}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} d = 3\ \ \ \ \ \ \ \ \\ a_{1} = - 16 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:\ \ d = 3;\ \ a_{1} = - 16.\]