529 Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если боковая грань составляет с плоскостью основания угол \(\varphi\), а не лежащая в этой грани вершина основания находится на расстоянии \(m\) от неё.

Здравствуйте, ребята! Давайте разберем эту задачу вместе. Она требует хорошего знания геометрии. **1. Понимание условия задачи** Нам дана правильная треугольная пирамида. Это означает, что в основании лежит равносторонний треугольник, а все боковые ребра равны. Также нам известны: * Угол \(\varphi\) между боковой гранью и плоскостью основания. * Расстояние \(m\) от вершины основания (не лежащей в рассматриваемой боковой грани) до этой грани. Наша задача - найти объем пирамиды. **2. Схема решения** 1. Найдем сторону основания. Для этого используем данное расстояние \(m\) и свойства равностороннего треугольника. 2. Найдем высоту пирамиды, используя угол \(\varphi\) и сторону основания. 3. Вычислим площадь основания (равностороннего треугольника). 4. Вычислим объем пирамиды по формуле. **3. Решение** **Шаг 1: Находим сторону основания** Пусть \(ABC\) - основание пирамиды, а \(S\) - её вершина. Пусть \(D\) - середина стороны \(AC\). Тогда \(BD\) - высота и медиана равностороннего треугольника \(ABC\). Расстояние от точки \(B\) до плоскости \(ASC\) равно \(m\). Это расстояние можно выразить через сторону треугольника \(a\). Площадь треугольника ASC можно вычислить как \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot SH\), где SH - высота боковой грани. Т.к. пирамида правильная, все боковые грани равны, и углы между боковыми гранями и основанием равны. Также можно выразить площадь треугольника \(ABC\) через радиус описанной окружности (R) как \(\frac{a^3}{4S}\) , где S - площадь треугольника. Проекция точки B на плоскость ASC - это основание перпендикуляра, опущенного из B на ASC. Известно, что расстояние от вершины равностороннего треугольника до противоположной стороны равно \(m\). Сторона правильного треугольника равна \(a\), и мы знаем, что расстояние \(m\) от вершины основания до боковой грани связано с стороной основания. \(m = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2} \Rightarrow a = \frac{4m}{\sqrt{3}}\) - это неверно. Воспользуемся тем, что расстояние от вершины треугольника до противоположной стороны равно \(\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}\). Тогда: \(m = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). Следовательно, \(a = \frac{3m}{\sqrt{3}} = m\sqrt{3}\). **Шаг 2: Находим высоту пирамиды** Пусть \(O\) - центр основания (точка пересечения медиан). Угол между боковой гранью и основанием - это угол между высотой боковой грани \(SD\) и отрезком \(OD\), где \(D\) - середина стороны \(AC\). Этот угол равен \(\varphi\). \(OD = \frac{1}{3} BD = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}\). Теперь, зная \(OD\) и угол \(\varphi\), мы можем найти высоту пирамиды \(SO = h\): \(h = OD \cdot \tan(\varphi) = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \tan(\varphi)\). Подставляем значение \(a = m\sqrt{3}\): \(h = \frac{m\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} \cdot \tan(\varphi) = \frac{3m}{6} \cdot \tan(\varphi) = \frac{m}{2} \tan(\varphi)\). **Шаг 3: Вычисляем площадь основания** Площадь равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна: \(S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Подставляем \(a = m\sqrt{3}\): \(S_{осн} = \frac{(m\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3m^2\sqrt{3}}{4}\). **Шаг 4: Вычисляем объем пирамиды** Объем пирамиды равен: \(V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{3m^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{m}{2} \tan(\varphi) = \frac{3m^3\sqrt{3}}{24} \tan(\varphi) = \frac{m^3\sqrt{3}}{8} \tan(\varphi)\). **Ответ:** Объем пирамиды равен \(\frac{m^3\sqrt{3}}{8} \tan(\varphi)\).