Найдите обратную матрицу для матрицы (A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}).

Чтобы найти обратную матрицу для заданной матрицы (A), нужно выполнить несколько шагов. Сначала убедимся, что матрица (A) обратима, вычислив её определитель. Если определитель не равен нулю, то обратная матрица существует. 1. Вычисление определителя матрицы A: \[\det(A) = 2 \cdot ((-1) \cdot 1 - 0 \cdot 2) - 2 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + 3 \cdot (1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) = 2 \cdot (-1) - 2 \cdot (1) + 3 \cdot (2 - 1) = -2 - 2 + 3 = -1\] Определитель матрицы (A) равен (-1), что не равно нулю. Значит, матрица (A) обратима. 2. Нахождение матрицы алгебраических дополнений (матрицы кофакторов): Каждый элемент матрицы алгебраических дополнений получается путем вычисления минора соответствующего элемента и умножения его на ((-1)^{(i+j)}), где (i) и (j) - индексы элемента. Матрица кофакторов (C) имеет вид: \[C = \begin{pmatrix} (-1-0) & -(1-0) & (2-1) \\ -(2-6) & (2+3) & -(4+3) \\ (0+3) & -(0-3) & (-2-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 4 & 5 & -7 \\ 3 & 3 & -4 \end{pmatrix}\] 3. Транспонирование матрицы кофакторов: Транспонированная матрица кофакторов получается заменой строк на столбцы. \[C^T = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & -7 & -4 \end{pmatrix}\] 4. Вычисление обратной матрицы: Обратная матрица (A^{-1}) получается путем деления транспонированной матрицы кофакторов на определитель матрицы (A). \[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot C^T = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & -7 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 7 & 4 \end{pmatrix}\] Сравнивая полученную матрицу с предложенными вариантами, мы видим, что обратная матрица соответствует варианту 2, но с небольшим отличием в элементе (3,2). Однако, если проверить умножением (A) на предложенные варианты, то можно убедиться, что правильный ответ - вариант 2. Проверим: Пусть (A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{pmatrix}). Тогда (A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I). Таким образом, правильный ответ: 2) (A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{pmatrix}).