Найдите обратную матрицу для матрицы \[A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]

Для нахождения обратной матрицы (A^{-1}) необходимо выполнить несколько шагов. 1. Вычисление определителя матрицы A: \[ \det(A) = 2 \cdot ((-1) \cdot 1 - 0 \cdot 2) - 2 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + 3 \cdot (1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) \] \[ \det(A) = 2 \cdot (-1) - 2 \cdot (1) + 3 \cdot (2 - 1) \] \[ \det(A) = -2 - 2 + 3 = -1 \] 2. Нахождение матрицы миноров: Матрица миноров получается вычислением определителей 2x2 для каждого элемента исходной матрицы A. \[ \begin{pmatrix} (-1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) & (1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) & (1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) \\ (2 \cdot 1 - 3 \cdot 2) & (2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1)) & (2 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) \\ (2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1)) & (2 \cdot 0 - 3 \cdot 1) & (2 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -4 & 5 & 6 \\ 3 & -3 & -4 \end{pmatrix} \] 3. Нахождение матрицы кофакторов: Матрица кофакторов получается из матрицы миноров путем изменения знаков в шахматном порядке: \[ \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 4 & 5 & -6 \\ 3 & 3 & -4 \end{pmatrix} \] 4. Нахождение присоединенной матрицы (адъюгат): Присоединенная матрица - это транспонированная матрица кофакторов: \[ adj(A) = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & -6 & -4 \end{pmatrix} \] 5. Вычисление обратной матрицы: Обратная матрица вычисляется как: (A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot adj(A)) Так как \(\det(A) = -1\), то: \[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & -6 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{pmatrix} \] Таким образом, обратная матрица для матрицы A равна: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{pmatrix} \] Ответ: 2)