Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями y = e^x, y = 0, x = 0, x = 1

Чтобы найти объем тела вращения, образованного вращением графика функции y = f(x) вокруг оси x на отрезке [a, b], мы используем следующую формулу: $$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$$ В нашем случае, f(x) = e^x, a = 0, и b = 1. Следовательно, нам нужно вычислить следующий интеграл: $$V = \pi \int_{0}^{1} (e^x)^2 dx = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} dx$$ Теперь найдем первообразную функции e^{2x}: $$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C$$ Теперь вычислим определенный интеграл: $$V = \pi \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{2} e^{2(1)} - \frac{1}{2} e^{2(0)} \right) = \pi \left( \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} e^0 \right) = \pi \left( \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2} (e^2 - 1)$$ Таким образом, объем тела вращения равен: $$V = \frac{\pi}{2} (e^2 - 1)$$ **Ответ:** В предложенных вариантах ответов, правильный ответ: $$\frac{\pi}{2}(e^2 - 1)$$ **Развернутый ответ для школьника:** Представь, что у тебя есть кривая y = e^x. Если эту кривую вместе с осями координат и прямыми x=0 и x=1 закрутить вокруг оси x, получится объемная фигура, похожая на кувшин. Чтобы найти объем этого «кувшина», нужно воспользоваться специальной формулой из математики. Эта формула использует интеграл, который позволяет сложить бесконечно много маленьких объемов, чтобы получить полный объем. Интеграл функции e^(2x) от 0 до 1 дает нам число, которое, умноженное на \(\pi\)/2, показывает, насколько велик этот «кувшин». В итоге получается \(\frac{\pi}{2}(e^2 - 1)\). Это и есть наш ответ.