Найдите корень уравнения $\frac{6}{x^2-19} = 1$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решим уравнение $\frac{6}{x^2 - 19} = 1$. 1. Умножим обе части уравнения на $(x^2 - 19)$, чтобы избавиться от дроби: $6 = x^2 - 19$ 2. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: $x^2 - 19 - 6 = 0$ $x^2 - 25 = 0$ 3. Разложим на множители, используя формулу разности квадратов $(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b))$: $(x - 5)(x + 5) = 0$ 4. Найдем корни уравнения, приравняв каждый множитель к нулю: $x - 5 = 0$ или $x + 5 = 0$ $x = 5$ или $x = -5$ 5. Проверим, не обращается ли знаменатель исходного уравнения в нуль при найденных значениях $x$: При $x = 5$, $x^2 - 19 = 5^2 - 19 = 25 - 19 = 6
eq 0$. При $x = -5$, $x^2 - 19 = (-5)^2 - 19 = 25 - 19 = 6
eq 0$. Оба корня удовлетворяют условию. 6. Так как уравнение имеет два корня (5 и -5), в ответе нужно указать меньший из них. Меньший корень равен -5. Ответ: -5 Развёрнутое решение: 1. Понимание условия: Нам дано уравнение с переменной в знаменателе. Необходимо найти корни уравнения и, если их несколько, выбрать наименьший. 2. Решение уравнения: Чтобы решить уравнение, сначала избавляемся от дроби, умножив обе части уравнения на знаменатель $x^2 - 19$. Получаем квадратное уравнение. Приводим его к стандартному виду и решаем, используя формулу разности квадратов. Находим два корня: $x = 5$ и $x = -5$. 3. Проверка корней: Убеждаемся, что найденные корни не обращают знаменатель исходного уравнения в нуль. В нашем случае, оба корня удовлетворяют этому условию. 4. Выбор наименьшего корня: Сравниваем полученные корни и выбираем наименьший из них. В данном случае это $x = -5$. Таким образом, ответ на задачу -5.