Найдите cos² B, если sin B = \frac{3\sqrt{3}}{10\sqrt{10}} в прямоугольном треугольнике ABC, где ∠C = 90°.

Давайте решим эту задачу по шагам. 1. **Вспомним основное тригонометрическое тождество:** Для любого угла B справедливо, что $$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$$ 2. **Выразим \(\cos^2 B\) через \(\sin^2 B\):** Из основного тригонометрического тождества получаем: $$\cos^2 B = 1 - \sin^2 B$$ 3. **Подставим известное значение \(\sin B\):** Дано, что \(\sin B = \frac{3\sqrt{3}}{10\sqrt{10}}\). Тогда: $$\cos^2 B = 1 - \left(\frac{3\sqrt{3}}{10\sqrt{10}}\right)^2$$ 4. **Вычислим квадрат \(\sin B\):** $$\left(\frac{3\sqrt{3}}{10\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{(3\sqrt{3})^2}{(10\sqrt{10})^2} = \frac{9 \cdot 3}{100 \cdot 10} = \frac{27}{1000}$$ 5. **Подставим полученное значение в формулу для \(\cos^2 B\):** $$\cos^2 B = 1 - \frac{27}{1000}$$ 6. **Приведем к общему знаменателю и вычтем:** $$\cos^2 B = \frac{1000}{1000} - \frac{27}{1000} = \frac{1000 - 27}{1000} = \frac{973}{1000}$$ 7. **Запишем ответ в виде десятичной дроби (если требуется):** $$\cos^2 B = 0.973$$ **Ответ:** \(\cos^2 B = \frac{973}{1000}\) или 0.973 ### Развернутый ответ для школьника: Чтобы найти \(\cos^2 B\), когда известен \(\sin B\), мы используем основное тригонометрическое тождество, которое связывает синус и косинус одного и того же угла. Это тождество говорит нам, что сумма квадратов синуса и косинуса угла всегда равна 1. В нашем случае, мы знаем \(\sin B\) и хотим найти \(\cos^2 B\). Мы можем переписать основное тождество, чтобы выразить \(\cos^2 B\) через \(\sin^2 B\). После этого мы просто подставляем известное значение \(\sin B\), возводим его в квадрат и вычитаем из 1, чтобы получить \(\cos^2 B\). Таким образом, мы нашли, что \(\cos^2 B = \frac{973}{1000}\) или 0.973. Это означает, что квадрат косинуса угла B равен 0.973.