Найдите большее из оснований трапеции, если её меньшее основание равно 6, а средняя линия делится диагоналями на три равные части.

Пусть ABCD - трапеция, где AD - большее основание, BC - меньшее основание, равное 6. Пусть M и N - точки пересечения средней линии с диагоналями BD и AC соответственно. По условию, средняя линия делится диагоналями на три равные части, то есть MN = AM = ND. Известно, что отрезок средней линии трапеции, заключенный между диагоналями, равен полуразности оснований. Таким образом, $MN = \frac{AD - BC}{2}$. Также известно, что вся средняя линия равна полусумме оснований, то есть: $\frac{AD + BC}{2} = AM + MN + ND$ Так как MN = AM = ND, то можно записать: $\frac{AD + BC}{2} = 3MN$ Подставим выражение для MN: $\frac{AD + BC}{2} = 3 \cdot \frac{AD - BC}{2}$ Умножим обе части уравнения на 2: $AD + BC = 3(AD - BC)$ Раскроем скобки: $AD + BC = 3AD - 3BC$ Перенесем AD в одну сторону, а BC в другую: $4BC = 2AD$ Выразим AD: $AD = 2BC$ Так как BC = 6, то: $AD = 2 \cdot 6 = 12$ Таким образом, большее основание трапеции равно 12.