Найдите \( tg2\alpha \), если \( sin\alpha = -\frac{\sqrt{39}}{8} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).

Давай решим эту задачу вместе! 1. Определим cosα: Так как \(sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\), мы можем найти \(cos\alpha\): \[cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{39}}{8}\right)^2 = 1 - \frac{39}{64} = \frac{64 - 39}{64} = \frac{25}{64}\] Значит, \(cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{64}} = \pm\frac{5}{8}\). Поскольку \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \), угол \( \alpha \) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, \(cos\alpha = -\frac{5}{8}\). 2. Найдем tgα: Теперь найдем тангенс угла \( \alpha \): \[tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{39}}{8}}{-\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{39}}{5}\] 3. Найдем tg2α: Используем формулу для тангенса двойного угла: \[tg2\alpha = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{39}}{5}}{1 - \left(\frac{\sqrt{39}}{5}\right)^2} = \frac{\frac{2\sqrt{39}}{5}}{1 - \frac{39}{25}} = \frac{\frac{2\sqrt{39}}{5}}{\frac{25 - 39}{25}} = \frac{\frac{2\sqrt{39}}{5}}{-\frac{14}{25}} = \frac{2\sqrt{39}}{5} \cdot \left(-\frac{25}{14}\right) = -\frac{5\sqrt{39}}{7}\] Таким образом, \(tg2\alpha = -\frac{5\sqrt{39}}{7}\). Ответ: \(tg2\alpha = -\frac{5\sqrt{39}}{7}\)