Найди среднее арифметическое значение всех корней уравнения $2 \log_3 \operatorname{ctg} \frac{\pi x}{3} = \log_2 \cos \frac{\pi x}{3}$, принадлежащих отрезку $[1945; 2025]$.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим это интересное уравнение вместе. **1. Анализ уравнения** Уравнение имеет вид: $2 \log_3 \operatorname{ctg} \frac{\pi x}{3} = \log_2 \cos \frac{\pi x}{3}$. Заметим, что обе части уравнения зависят от $\frac{\pi x}{3}$. Положим $t = \frac{\pi x}{3}$. Тогда уравнение перепишется как: $2 \log_3 \operatorname{ctg} t = \log_2 \cos t$ **2. Нахождение ОДЗ** Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования логарифмов и тригонометрических функций: * $\operatorname{ctg} t > 0$, то есть $t \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n$ - целое число. * $\cos t > 0$, то есть $t \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k$ - целое число. Пересечение этих условий дает: $t \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ **3. Нахождение корней** Рассмотрим функцию $f(t) = 2 \log_3 \operatorname{ctg} t - \log_2 \cos t$. Заметим, что при $t = \frac{\pi}{4}$: $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$ и $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда $f(\frac{\pi}{4}) = 2 \log_3 1 - \log_2 \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 - \log_2 2^{-1/2} = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}
eq 0$. Заметим, что если $t = \frac{\pi}{6}$, то $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $f(\frac{\pi}{6}) = 2 \log_3 \sqrt{3} - \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} - \log_2 \sqrt{3} + 1 = 2 - \log_2 \sqrt{3}
eq 0$. Заметим, что если $t = \frac{\pi}{3}$, то $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Тогда $f(\frac{\pi}{3}) = 2 \log_3 \frac{1}{\sqrt{3}} - \log_2 \frac{1}{2} = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) - (-1) = -1 + 1 = 0$. Таким образом, $t = \frac{\pi}{3}$ - корень уравнения $f(t) = 0$. Значит, $\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, откуда $x = 1 + 6k$, где $k$ - целое число. **4. Отбор корней, принадлежащих отрезку [1945; 2025]** Нам нужно найти все значения $k$, при которых $1945 \le 1 + 6k \le 2025$. Вычитаем 1 из всех частей неравенства: $1944 \le 6k \le 2024$. Делим все части на 6: $324 \le k \le 337\frac{1}{3}$. Так как $k$ - целое число, то $324 \le k \le 337$. **5. Нахождение среднего арифметического корней** Корни имеют вид $x_k = 1 + 6k$. Нужно найти среднее арифметическое значений $x_k$ для $k$ от 324 до 337. Всего корней $337 - 324 + 1 = 14$. Среднее арифметическое: $\frac{1}{14} \sum_{k=324}^{337} (1 + 6k) = \frac{1}{14} \left( \sum_{k=324}^{337} 1 + 6 \sum_{k=324}^{337} k \right) = \frac{1}{14} \left( 14 + 6 \cdot \frac{324 + 337}{2} \cdot 14 \right) = 1 + 3(324 + 337) = 1 + 3 \cdot 661 = 1 + 1983 = 1984$. **Ответ:** Среднее арифметическое значение всех корней уравнения, принадлежащих отрезку $[1945; 2025]$, равно **1984**.