Найди длину биссектрисы угла равнобедренного треугольника, проведённой из угла при основании, если боковая сторона равна 40, а основание равно 10 см.

Давайте решим эту задачу. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = BC = 40$ см, а $AC = 10$ см. Необходимо найти длину биссектрисы $BD$, проведенной из угла $B$. 1. Определение косинуса угла при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Обозначим этот угол как $\alpha$. Используем теорему косинусов для нахождения $\cos(\alpha)$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 cdot AB cdot AC cdot \cos(\alpha)$ $40^2 = 40^2 + 10^2 - 2 cdot 40 cdot 10 cdot \cos(\alpha)$ $1600 = 1600 + 100 - 800 \cos(\alpha)$ $800 \cos(\alpha) = 100$ $\cos(\alpha) = \frac{100}{800} = \frac{1}{8}$ 2. Нахождение косинуса половинного угла. Нам нужна биссектриса угла $\alpha$, поэтому нужно найти $\cos(\frac{\alpha}{2})$. Используем формулу половинного угла: $\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$ $\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{8}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{8}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ 3. Применение теоремы косинусов для нахождения длины биссектрисы. Рассмотрим треугольник $ABD$, где $AB = 40$ см, $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$, и нужно найти $AD = x$. Используем теорему косинусов: $BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 cdot AB cdot AD cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$ Но сначала нужно найти длину стороны AD. Так как BD - биссектриса, то по свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$ $\frac{AD}{DC} = \frac{AD}{AC - AD} = \frac{40}{40} = 1$ $AD = DC$ $AD = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ Теперь, когда мы знаем $AD = 5$, мы можем найти длину биссектрисы $BD$ по теореме косинусов: $BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 cdot AB cdot AD cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$ $BD^2 = 40^2 + 5^2 - 2 cdot 40 cdot 5 cdot \frac{3}{4}$ $BD^2 = 1600 + 25 - 300$ $BD^2 = 1325$ $BD = \sqrt{1325} = 5\sqrt{53} \approx 36.4$ Ответ: Длина биссектрисы приблизительно равна 36.4 см.