1. На рисунке 62 точка O – центр окружности, \(\angle ABC = 28^\circ\). Найдите угол \(\angle AOC\). 2. К окружности с центром O проведена касательная CD (D – точка касания). Найдите отрезок OC, если радиус окружности равен 6 см и \(\angle DCO = 30^\circ\). 3. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что \(\angle BAC = \angle BAD\) (рис. 63). Докажите, что AC = AD. 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к ней. 5. Даны окружность и две точки вне её. Найдите на окружности точку, равноудалённую от этих двух точек. Сколько решений может иметь задача?

1. Угол \(\angle ABC\) – вписанный угол, опирающийся на дугу \(AC\). Центральный угол \(\angle AOC\) опирается на ту же дугу. Известно, что центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ\). Ответ: \(\angle AOC = 56^\circ\) 2. Так как \(CD\) – касательная к окружности с центром \(O\) в точке \(D\), то радиус \(OD\) перпендикулярен касательной \(CD\). Значит, \(\angle ODC = 90^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ODC\). В нем \(\angle DCO = 30^\circ\), \(OD = 6\) см (радиус окружности). Нам нужно найти гипотенузу \(OC\). Используем синус угла \(\angle DCO\): \(\sin(\angle DCO) = \frac{OD}{OC}\) \(\sin(30^\circ) = \frac{6}{OC}\) \(\frac{1}{2} = \frac{6}{OC}\) \(OC = 2 \cdot 6 = 12\) см. Ответ: \(OC = 12\) см 3. Дано: Окружность с центром O, диаметр AB, хорды AC и AD, \(\angle BAC = \angle BAD\). Доказать: AC = AD. Доказательство: 1. Так как \(\angle BAC = \angle BAD\), то дуги, на которые опираются эти углы, равны. То есть, дуга BC равна дуге BD. 2. Равные дуги стягивают равные хорды. Следовательно, хорда AC равна хорде AD. 3. Таким образом, AC = AD. Что и требовалось доказать. 4. Для построения равнобедренного треугольника по боковой стороне и медиане, проведённой к ней, нужно выполнить следующие шаги: 1. Начертите отрезок, равный данной боковой стороне (пусть это будет отрезок \(AB\)). 2. Постройте окружность с центром в точке \(B\) радиусом, равным данной медиане (пусть это будет радиус \(m\)). 3. Найдите середину отрезка \(AB\) (точка \(M\)). 4. Постройте окружность с центром в точке \(M\) радиусом, равным \(m\). 5. Точка пересечения двух окружностей (кроме точки \(M\)) даст точку \(C\), которая будет вершиной равнобедренного треугольника. 6. Соедините точку \(C\) с точками \(A\) и \(B\). Полученный треугольник \(\triangle ABC\) – искомый равнобедренный треугольник, где \(AB = BC\), а \(AM = MC\) – медиана, проведённая к боковой стороне. 5. Пусть даны окружность и две точки \(A\) и \(B\) вне её. Необходимо найти точку \(C\) на окружности, равноудаленную от точек \(A\) и \(B\). Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Построим серединный перпендикуляр к отрезку \(AB\). Точки пересечения этого перпендикуляра с окружностью (если они существуют) и будут искомыми точками. Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от того, сколько точек пересечения имеет серединный перпендикуляр с окружностью. * Если серединный перпендикуляр не пересекает окружность, то решений нет. * Если серединный перпендикуляр касается окружности, то решение одно. * Если серединный перпендикуляр пересекает окружность в двух точках, то задача имеет два решения.